13.4 课题学习 最短路径问题 1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线的和最小的问题，只要找到其中一个点关这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关直线l的对称点B′，则点C是直线l与 AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关直线l对称，所以直线l是线BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′ C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即 为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线转化到一条直线上，然后用“两点之间线最短”解决问题. 2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线最短的性质，将所求线之和转化为一条线的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点 到直线上某点的距离和最小 这个核心，所有作法都相同．警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要 求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是用的一种法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求， 审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线转化到一条线上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸 的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到 |
