13．4 课题学习 最短路径问题学习目标：通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线最短和垂线最短．难点应用所学知识解决最短路径问题．难点选择合理的法解决问题．教学设计一、创设情境多媒 体展示：如图，一个圆柱的底面长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最 短路径． 这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线最短”求出最短路径．那么怎 样求平面图形中的 最短路径问题呢？二、自主探究探究一：最短路径问题的概念1．多媒体出示图①和图②，提出问题：(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？ 2．教师总结：“两点之间，线最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线中，垂线最短”等问题，我们称之为最短路径问题．探究二：河边饮马问题多媒体出示问题1：牧马人从A地出 发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地饮马，可使所走的路径最短？ 提出问题：如果点A 和点B分别位直线的两侧，如在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距 离的和最短？思考：如果点A和点B位直线的同侧，如在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？教师引导学生讨论，明确找点的法．让学生对才的法通过逻辑推理的法加 以证明．教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨．探究三：造桥选址问题多媒体出示问题2.(教材第86页)提出问题：(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？(2)这个问题有什么不同？(3)要保证路径AMNB最短，应该怎 样选址？学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN＋NB最小．尝试选址作 出图形．多媒体展示教材图13.4－ 7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据才的分析，完成证明过程．根据问题1和问题2，你有什么启示？三、知识拓展已知长体的长为2 cm、 宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是 多少？ 四 、归纳总结1．本节课你学到了哪些知识？2．怎样解决最短路径问题？教学反思本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线和最小问题，再 利用轴对称将线和最小的问题转化为“两点之间，线最短”问题． |
