阶，主要以“两点之间，线最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线中，垂线最短”为知识，有时还会借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮水问题”为载体开展对最短路径问题的课题研究，让学生 经历将实际问题抽象为数学的“线和最小问题”，再利用轴对称将线和最小问题转化为“两点之间，线最短”问题。教学目标及核心问题的思 考1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本，感受学习成功的快乐。教学结构及流程的建议 有一道有趣的造桥选址问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解．我们一起关注：问题：如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河两岸 、 平行,桥MN 与河岸垂直,A到 的距离大河宽.） 图1 图2法探究：读懂题意后发现，这个问题要求的“路径AMNB最短”实际是就是“AM+BN”最短，因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．怎样保证“AM+BN”最短呢？如果不是中间有条河隔着，直接连接AB就可以了！由河两岸平行,故桥长MN是一个定值,无论桥架在处,MN是必经路线,要使从A到B的折线最短,只需AM+BN最短即可.为此我们不妨将桥MN平移到 处,且M与A重合,则N与 重合,由平移性质知AM= .由“两点之间,线最短”的性质知,要使AM+BN最短(即 +BN最短),只要点N在线 上即可．为了更为清楚的表达这种法，我们构造出如图2的作图后，再加以说明．图2的操作步骤是，过点A作AC⊥ 点C， 在线AC上截取 =桥长，然后连接 交 点N，最后过点N作MN⊥ 点M.则MN即为所求的架设桥的地点.很显然，从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙的化解开去，分析出“AM+BN”最短距离为A`N+BN（也就是点A`到点B之间的线最短），从而实现了问题的求解． 重、难点及其处理法1、利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线最短“问题。2、如利用轴对称的知识将最短路径问题 |
