第十六章 二次根式16.1二次根式 16.2二次根式的乘除 16.3二次根式的加减【知识精要】二次根式及其性质一、一知识概述1、二次根式 一般地，我们把形如 ( ≥0)的式子叫做二次根式，其中 为整式或分式， 叫做被开式．2、二次根式有意义的条件 二次根式 有意义的条件是 ≥0，即被开式是非负数．3、二次根式的性质 (3) 4、积的算术平根的性质 (a≥0，b≥0) 即两个非负数的积的算术平根，等积中各因式的算术平根的积．5、商的算术平根的性质 (a≥0，b＞0)商的算术平根，等被除式的算术平根除以除式的算术平根．6、最简二次根式 如果二次根式的被开式中都不含分母，并且被开式中不含有能开得尽的因式，这样的二次根式称为最简二次根式．二、重难点知识归纳1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开数必须是非负数．2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式 中被开数非负（a≥0）,算术平根非负 ( ≥0).3、利用 得到 成立，可以把意一个非负数或式写成一个数或式的平的形式．如 ．4、注意逆用二次根式的性质，即 ， ，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开式中不含分母；(2)被开式中不含能开得尽的因数或因式．三、典型例题讲解例1、已知实数a、b在数轴上的位置如图． 化简： ．分析： 待求式中的五个二次根式的被开数都是完全平式，且结构特征符合性质3的 ，但由题设中的a、b在数轴上的位置可知a、b有正有负，因此本题的关键是确定各个数的正负性．解： 由数轴上点的位置可知a>b，0 ∴a>0，b0，b－1 总结： （1）由数轴上点的位置应确定两个要素：一是各数的正负性，二是比较各数的大小； （2）在运用性质计算时一定要明确底数的正负性．例2、化简下列二次根式： 分析： （1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开数中能开得尽的因数或因式运用积的算术平根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽的，然后再运用商的算术平根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽的因式或因数也要化简． 总结： （1）当被开数中不含有分母，则用 积的算术平根性质进行化简； （2）当被开数中含有分母，化简时既要用到商的算术平根，也要用到积的算术平根．例3、若x为实数，化 |
