1．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 2．如图，正形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线PA绕点P逆时针旋转90°得到线PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF． 如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；如图②，当点P在线BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．3．通过类比联想、引拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。原题：如图1，点E、F分别在正形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。根据 ，易证△AFG≌ ，得EF=BE+DF。（2）类比引 ：如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF。（3）联想拓展 ：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。 （1）你认为以上三种设计案都符合要求吗？（2）要根据图1完成证明，需要证明△ ≌△ ，进而得到线 ______= ___；（3）如图4，在正形ABCD外面已经有一条夹在直线AD、BC之间长为EF的小路，想在直线AB、DC之间修一条和EF等长的小路，并且使这条小路的延长线过EF上的点O，请画草图（加以论述） ，并给出详细的证明．5． 是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（与点B、C不重合）， 是以AD为边的等边三角形，过点E作 ，交射线AC点F，连结BE.（1）如图 ，当点D在线BC上运动时。①求证： ；②探究四边形BCFE是怎样的四边形？并说明理由； 如图 ，当点D在线BC的延长线上运动时，请直接写出（1）的两个结论是否依然成立；（3） |
