在数学活动中学习数学──以“探索规律”的教学为例

　　数学教学是数学活动的教学。数学活动主要是指学生研究数学问题、探索数学规律以及实践应用的活动，因此，数学教学需要再现研究、探索数学问题或规律的真实场景。然而目及现实中的课堂，不少教师仍然习惯于从教的角度出发设计教学环节和程序实施教学，而常常忽略了数学活动在课堂中的存在方式的思考，忽视了数学活动在学生不断完善认知、生疑和释疑、感受数学现实意义的过程中的重要作用。所以，重视并从数学活动在数学教学中的教育价值，采用让学生亲历数学知识的发生、形成、发展、完善和应用过程的形式实施教学，是一个值得我们重视且颇有研究价值的课题。对此，笔者在实践中进行了思考和探索，下面仅结合一些“探索数学规律”教学的案例，谈谈自己的粗浅认识。

　　一、数学活动是一种逐步完善认知的探索活动，数学教学需要有让学生亲历完善认知的探索过程

　　在数学活动中，学生在某种探索目的或需要的支配下，对某些数学问题、现象的探讨和认识，通常需要经历一个不断“否定—肯定”的发展过程，从而对问题的认识逐步实现由模糊到清晰，由片面到全面，由浅显到深入。数学教学也应顺应学生认知发展的需要，让学生在不断否定尚且偏颇、需要逐步完善的已有观点和肯定探索中的正确认知的发展过程中，使发现的规律或归纳的公式渐趋全面深入，臻于科学合理。

　　以《积的变化规律(一)》为例，其内容为：一个因数不变，另一个因数乘几，等于原来的积乘几。由于这个规律是“积的变化规律”中最基本、最简单的规律，就它的探索仅需结合几个实例经过简单的观察、讨论就能轻松归纳出结论，这样的教学既简洁又有效，似乎也无可厚非!但如此教学，颇有“重结论轻过程”的缺憾，而且显得过于单调、肤浅。那么怎样设计并引导学生参与数学活动，联系知识的发生、形成、发展的过程来实施教学呢?首先可以创设这样一个问题情境(配图)：有两块长方形菜地，第一块宽15米，面积为450平方米，第二块宽也是15米，长是第一块菜地的2倍，那么第二块菜地的面积是多少呢?问题一出，学生可以借助图形或者计算经验，迅速猜测出第二块菜地的面积。接着教师问其原因，初步形成“一个因数不变，另一个因数乘几，等于原来的积乘几”的猜想，在此基础上，带领学生进入验证猜想的环节，引导学生依次用一个数乘几进行验证，进而初步感悟这一猜想的正确性。但验证活动到此并不能结束，因为这一猜想的证明需要采用不完全归纳法，不完全归纳法证明运算定律或者计算规律仅靠举例验证是不行的，还需要借助反证法予以证明，起码借组反例予以说明。因而，在此我们还需要向学生简略地介绍不完全归纳法的意义和使用方法，再让他们反思“如果一个因数乘几，另一个因数不变，积会不会不等于原来的积乘几”，然后结合反例和举例验证的结果证实猜想的正确性，最后运用总结的规律来解决课始情境中的问题和其他实际问题。在整个探索、验证结论的环节中，学生不仅获得了数学知识，也初步掌握了数学方法。具体地说，一方面，学生在一次次的认知冲突中，逐步完善积的变化规律，形成科学的认知结构;另一方面，学生也经历和初步理解验证规律的探索过程，拓展了知识面，知道不完全归纳法的意义，初步掌握用不完全归纳法证明数学规律正确性的操作方法，提高了探索规律和解决问题的能力。

　　二、数学活动是一种生疑与释疑的思维活动，数学教学需要有让学生经历生疑与释疑的思维过程

　　疑是思之始，学之端。在数学活动中，活动者的疑问时刻充溢其间，诸如对数学现象的疑问，对结论正确性的疑问，对论证科学性的疑问，对学习材料选用的疑问，对结论适用性的疑问等。并且，疑问还始终伴随着活动者释疑的冲动和尝试。基于此，笔者以为，数学课堂也应是一个生疑、释疑的活动过程。在这样的过程中，学生可以经历探索问题的真实过程，容易产生真切的探索体验和情感，积累基本的数学活动经验，提高观察、探索和思维能力。

　　例如《3的倍数的特征》，对其规律或判断方法的教学，不少教师为了免受2、5的倍数的特征需从个位进行判断的负面干扰，通常径直让学生用9根小棒或同等数量的算珠摆放在不同数位上，组成一些多位数，直接将学生探索的思维触角落在各个数位上的数的特征上，然后通过计算和举例验证的方式探索出3的倍数的特征。这样教学，虽经济有效，但却有违学生的思维和认知特点，因为该内容前一课多为《2、5的倍数的特征》，其判断方法关键看个位，那么在探索3的倍数的特征时，学生定会从个位数字研究起，这是理所当然的!缺少了这个教学环节，便失去了对学生认知特点的应有尊重。笔者教学该内容时，先让学生回忆2、5的倍数的特征，然后猜测3的倍数的特征，并举例验证“个位上是0、3、6、9的数都是3的倍数”的观点。在短暂的实践中，学生发现个位上是0、3、6、9的数并非都是3的倍数，随即引起强烈的认知冲突。接着，笔者再让他们讨论其中3的倍数有怎样的特点，进而让学生感悟到3的倍数的特征不能光看个位还要看其他各个数位上的数，再组织学生针对“各位上的数”的特点提出自己的猜想，并让他们讨论自己提出的和老师选择的一些猜想：(1)各个数位上的数分别是3的倍数，这个数就是3的倍数;(2)各个数位上的数加起来的和是3的倍数，这个数就是3的倍数……经过深入讨论和探索，学生不仅证明了上述设想的正确性，还得出了其他判断一个数是不是3的倍数的简便方法(如236，因为十位和个位上的数字都是3的倍数，而百位上的数字不是，所以236不是3的倍数)。这样教学，整个环节自然而顺畅，课堂气氛轻松而热烈，学生思维活跃而深入，在体验探索乐趣的同时，也习得了书本以外的知识。

　　三、数学活动是一种具有现实意义的实践活动，数学教学需要有让学生感悟现实意义的实践过程

　　数学存在于生活，数学活动是一种具有现实意义的实践活动。这一实践活动，通常从某些数学现象中提取出某个数学问题，然后经过分析、归纳、综合等思维活动，得出研究结论、数学模型等，再应用于生活，解决实际问题，也就是说，需要经历发现问题、研究特征和揭示规律再到实际应用的过程。所以，数学教学需要真实地再现这样的过程，从生活中搜寻鲜活的数学原型，让学生体验数学与生活的密切联系，感悟数学的现实意义。

　　审视当下的课堂教学，虽然教师们创设了丰富多彩、引人入胜的教学情境，也引发了学生一定的学习兴趣或探究欲望，但少数情境中的现象或事物仍然远离学生的生活实际，未能使学生真切感受到数学在生活中的客观存在。以“加法交换律”的教学为例，教材先呈现现实的问题情境：操场上跳绳的男生有28人，跳绳的女生有17人，踢毽子的女生有23人。按照教学内容的编排顺序，先提问：跳绳的有多少人?学生列式：28+17或17+28，然后根据两道算式表示的意义得出等式：28+17=17+28。之后，要求学生再写出几个这样的等式，并让学生用自己喜欢的方法或方式表示这一特点，在此基础上，再对具体的算式进行抽象化、符号化，得出加法交换律，最后进行简单应用。教完加法交换律，再用同样的教学程式教学加法结合律。比如，上课伊始出示这样的情境图：，接着观察等式两边的特点并最后进行简单练习以加深印象。这样的教法在常态教学中可以说是司空见惯、屡见不鲜的，似乎也无可挑剔!而笔者觉得，这样教学也只是“为情境而情境”的，学生无法真切感受到数学与生活的密切联系和加法交换律的功用，至于对这个知识的浓厚兴趣更难以言及了。知识的价值和魅力在于运用，只有从生活实践中找到真实的生活原型才能激发学生的真正的学习兴趣和探究欲望，才能实现让学生在数学活动中学习数学。

　　教学该内容时，我们可以在课始出示这样的生活情境：有一排红黄两种颜色的花盆，其中两盆红花和两盆黄花紧挨在一起而其他花盆都是红黄间隔摆放的，提出问题：“这样摆放的感觉如何?如果不美观应该怎样调整?”学生指出只要交换两盆花的位置(都变成间隔排列)就美观了，然后将话题引入类似上文中的教学情境教学加法交换律。当教完这部分内容时，又出示了需要把颜色相同的彩色球移到一块才能消除的电脑游戏并让学生交流游戏的玩法，学生在自己熟悉的感兴趣的游戏面前，群情激奋，争先恐后地回答游戏的玩法，体会加法交换律在游戏中的应用。这样，学生在生活事例和有趣的游戏面前，既激发了浓烈的学习兴致，也体验到交换两个事物和合并同类事物的现实需要，在感悟知识的同时也真切体会到数学与生活的紧密联系及现实意义。

　　《义务教育数学课程标准(2011年版)》在教学目标中明确地提出“积累基本的数学活动经验”这从另外一个角度凸显了学生经历数学活动过程的必要性。在数学教学中，我们需要思考数学活动在数学教学中的价值，引导学生参与并在数学活动中学习数学，让学生在学习中不断生疑和释疑，逐步完善和建构自己的认知结构，深切感受数学知识的现实意义。只有这样，才能激发学生真正的、持久的学习兴趣，才能提高学生的观察、探索和思维能力，才能培养、形成学生的数学素养，才能彰显数学教学的价值和意义。