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0w.net 有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性.
1.括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单.
例2计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445.
分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.
解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
=211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789
=1000×(211+789)
=1 000 000.
说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧.
例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n.
分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法.
解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n.
下面需对n的奇偶性进行讨论：
当n为偶数时，上式是n/2个(-1)的和，所以有
当n为奇数时，上式是(n-1)/2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有
例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少?
分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性.在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1.
现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.
这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.
所以，所求最小非负数是1.
说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化.
2.用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4
=1002-22.
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
于是我们得到了一个重要的计算公式
(a+b)(a-b)=a2-b2， ①
这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算.
例5计算 3001×2999的值.
解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999.
例6计算 103×97×10 009的值.
解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919.
例7计算：
分析与解直接计算繁.仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347.可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1).应用平方差公式化简得
n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，
即原式分母的值是1，所以原式=24 690.
例8计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).
分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了.
解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…… =(232-1)(232+1) =264-1. 来
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