：第18章.勾股定理知识点与见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平和等斜边的平；表示法：如果直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平和等斜边的平２.勾股定理的证明 勾股定理的证明法很多，见的是拼图的法 用拼图的法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示法，列出等式，推导出勾股定理见法如下：法一： ， ，化简可证． 法二： 四个直角三角形的面积与小正形面积的和等大正形的面积．四个直角三角形的面积与小正形面积的和为 大正形面积为 所以 法三： ， ，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用直角三角形，对锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的意两边长，求第三边在 中， ，则 ， ， ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平和 与较长边的平 作比较，若它们相等时，以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平等两条直角边的平和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数②记住见的勾股数可以解题速度，如 ； ； ； 等③用含字母的代数式表示 组勾股数： （ 为正整数）； （ 为正整数） （ ， 为正整数）７．勾股定理的应 |
