1. （8分）已知：如图，在□ABCD中，对角线AC交BD点O，四边形AODE是平行四边形。求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形。1.证明 ∵□ABCD中，对角线AC交BD点O，∴OB=OD，又∵四边形AODE是平行四边形∴AE∥OD且AE=O D，∴ AE∥OB且AE=OB，∴四边形ABOE是平行四边 形同理，四边形DCOE也是平行四边形。2．（12分）如图，在正形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF= CD。求证：△ AEF是直角三角形。2.设正形ABCD的边长为a则，BE=CE= a, CF= a. DF= a在Rt△ABE中，由勾股定理得AE =AB +BF =a + 同理在Rt△ADF中，AF =AD +DF =a + ,在Rt△CEF中，EF =CE +CF = ∴AF =AE +EF ，∴△AEF是直角三角形。 3．（10分）如图11，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点 F处． （1）求 EF的长； （2）求梯形ABCE的面积。3．解：（1）设EF＝x． 依题意知：△CDE≌△CFE． ∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6, ． 即EF＝3． （2）由（1）知：AE＝8－3＝5, ．4．（10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边ABF，∠ADC的平分线DG交边ABG。（1）求证：AF=GB；（2）请你在已知条件的上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三 角形,并说明理由．4．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC ∴∠AG D＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC ∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD ∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF ∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF ∴AD＝AG，BF＝BC ∴AF＝BG（2）∵AD∥BC ∴∠ADC＋∠BCD＝180° ∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD ∴∠EDC＋∠ECD＝90° ∴∠DFC＝90°∴∠FEG＝90° 因此我们只要保证添加的条件使得EF＝EG 就可以了。我们可以添加∠GFE＝∠FGD，四边形ABCD为矩形，DG＝CF等等。 |
