数学概念的特质与有效建构策略 |
| 所属栏目: 数学论文 更新时间:2020-01-18 点击次数:
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0w.net 数学概念，静态地看是数学知识的基本单位，动态地看是儿童思维的基本单位。对于儿童的数学学习而言，数学概念起着奠基性作用。它不仅是儿童学习数学定律、法则、公式等的知识起点，也是儿童进行数学推理、判断、证明的逻辑依据，还是儿童正确进行数学运算、深入进行数学思考、有效进行问题解决的先决条件。
一、数学概念的特质解读
1.过程性特质。
从数学概念获得过程分析，概念具有二重性：过程性与对象性。数学概念既表现为一种过程操作，又体现为特定的对象、结构。“这些概念最初是作为一个过程得到引进的，但最终则又转化成一个对象，我们不仅可以研究它们的性质，也可以此为对象去施行某些新的运作（指广义的数学运演）”（郑毓信语）。在教学中，我们既要将概念看作思维成果（对象性或结构性数学），更要将概念理解为思维过程（过程性数学）。
例如，乘法，既是相同加数和的简便运算过程，又是运算结果的表现；平移和旋转，既代表一个几何图形在平面内作特定位移的过程，又代表这种特定的变换本身。将概念看作一个对象或结构，意味着概念是静态的、独立的，并能把它作为一个整体来进行思维而无需考虑其细节；而将概念理解为一个过程，则意味着它只有在一连串操作下才能存在，是动态的、有步骤、有顺序的。数学概念的对象属性决定了数学概念具有明确的内涵与外延、鲜明的本质属性和特定的数学形式；数学概念的过程属性说明数学概念具有丰富的历史背景、创新的思维方法和独有的发展历程。“过程”是对概念的支撑和演绎，“对象”是对认知过程的抽象和提炼，概念教学中二者都不可偏废。
2.表象性特质。
在概念学习中，儿童获取的不只是几句条文式的概念定义，而是丰富、鲜活的概念表象。首先，儿童往往是选取典型性对象作为概念代表进行加工，建立数学模型的。比如，儿童往往用大拇指的宽度建立厘米表象，用手掌的宽度建立分米表象，用两臂张开的长度建立米的表象等。其次，儿童的概念心理表征在大多数情况下并非相应的“形式化定义”，而是由多种成分组成的复合物──心智图像、对有关性质和过程的记忆等。例如，儿童常常借助图像来理解正反比例的概念，借助数轴上的点来理解正负数的概念等。教学中教师要以丰富的概念表象作支撑让儿童理解“形式化定义”，让丰富的概念表象因为有了简约的形式定义而更精确、更深刻，让简约的形式定义因为有了概念表象而更丰富、更生动，由此实现概念表象和概念定义的耦合。
3.结构性特质。
从来源看，数学概念之间有着密切的联系，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。高层次的数学概念总是以低层次的概念为其具体内容，所以，数学概念往往是“抽象的抽象”。概念教学中，教师要能够从系统论的角度去研究数学概念，把握好数学概念之间的关系，有意识地将新概念纳入到儿童已有的概念结构中，使之形成新的、层次更高、更完整的概念结构。研究表明，将所学“概念点”织成“概念网”，有利于概念本身的巩固和深化，从而更好地理解这个概念；有利于促进知识的迁移，发展学生的数学能力；有利于以概念系统为基础，组织学生的数学认知结构，使所学的知识系统化、结构化。
二、数学概念的“精致化建构”
数学概念的精致化建构是指师生在教学中对数学概念的内涵与外延进行深度加工，对数学概念的要素进行精细加工，从而让学生获得精确的概念限制条件、清晰的概念表象、更多的概念例证等。着眼于儿童数学概念的学习心理，提升儿童的数学“前概念”、将数学概念进行“数学化还原”、对数学概念进行“多向度厘析”、将相关数学概念进行“集约化处理”可以将数学概念的“精致化”建构提升到可操作层面。数学概念的“精致化”建构追求儿童对数学概念的本质把握和对概念的主动习得。
1.生活化处理：将数学“前概念”提升为“数学概念”。
面对新概念，学生并非“零起点”。语文学习中的词义解释、数学学习中的前位概念、生活运用中的点滴积累、学习现场中的即兴思辨等都能在直面数学“新概念”的一瞬而被激活。某种意义上，儿童数学新概念的建构过程表现为儿童“前概念系统”不断修正与扩张的过程。教师应有意识地将儿童的“前概念”提升为“数学概念”。一方面，要积极利用“前概念”的实践性、浅显性、通俗性等特点。如，借助生活中日升日落、白天黑夜周而复始的经验来帮助学生理解“循环”概念；借助练习本上的横线、双杠等形象帮助学生认识“平行线”概念；借助温度计的零上温度与零下温度让学生感悟正负数的概念等。另一方面，也要警惕“前概念”对数学概念学习的干扰，设法提防、抑制或纠正。如生活中的角对作为几何图形的角的干扰，生活中物体有多重的概念对“质量”概念的干扰，生活中物体竖直方向上的高对几何图形高的影响等。作为教师，我们应选择恰当的教学策略，回应儿童已有的生活经验，促成儿童深刻的概念领悟。
2.数学化还原：将“数学概念”转变为学生的“思维对象”。
数学概念是前人实践智慧的结晶。在概念没有形成以前，人类的数学活动是作为思维对象而存在的。在数学史上，“群”的思维对象要早于“群”概念半个世纪。弗赖登塔尔说，“认识不是从概念开始的，而是从围绕着它的其他途径开始的，概念是认识过程的结果。什么是‘自然数’呢？它是由数数过程形成的，而不是明确的定义”。因此，教学应充分向儿童展现概念的形成过程。
香港教育学院冯振业先生认为，“从操作的层面看，由‘数学化’观点指导的教学，就是要让学生经历数学概念由无到有，由粗疏到精密的演变过程。由此，学生不但可以得知数学概念的来历，更可掌握数学独特的思维模式”。如，教学“认识厘米”这一貌似规定性的概念，笔者设计了这样几个活动让学生充分经历：度量物体、统一长度单位的思辨活动，认识直尺并建立1厘米表象的迁移活动，认识几厘米的思维拓展活动，用直尺测量和绘制线段的技能形成活动，将厘米单位延伸应用于生活的测量活动，厘米只是一种较小长度单位的延伸渗透活动。学生充分经历了数学活动，体验了厘米概念的诞生，获得的就不只是厘米的抽象定义，而是概念的丰富意义，同时学生的基本数学活动经验也得到了丰富。
3.多向化厘析：凸显数学概念的本质内涵。
数学概念具有各种属性，有本质的，也有非本质的。儿童建构数学概念的过程实质上就是抽象概括概念的本质属性、舍弃非本质属性的过程。教师应当从概念的多种背景、多重层次、多个侧面、多维结构去揭示概念的内涵。教学中，教师应首先向学生提供概念的肯定例证，如教学“平移和旋转”时，笔者选取铅笔作为揭示概念的典型素材。因为铅笔的平移与旋转现象比较纯粹，利用铅笔作平移或旋转运动时，铅笔的对应点、对应线段比较清晰，学生容易把握平移和旋转的本质特征，抽取平移和旋转的本质属性。其次是各种反例和变式（如呈现形态、表达材料、叙述方式）的运用，引导学生透过概念纷繁多变的非本质表层、捕捉概念内在不变的本质属性。如，教学“垂线”概念时，学生很容易形成从上往下垂直的非本质特征印象，教学中笔者让学生从斜线上方一点、斜线下方一点、斜线左边一点、斜线右边一点分别向斜线作垂线，学生在丰富的变式中抽象出“垂直”的本质属性。在后续的学习中，笔者适时让学生作两条平行线之间的垂线，作三角形、平行四边形和梯形的高等，使学生多角度、全方位地认识垂线。通过多向化厘析，凸显了“垂线”概念的本质内涵。值得注意的是，对概念本身进行多向化厘析，不应盲目“求新”，更不能极端“求变”，而应以多样形式凸显对概念本质的重点关注。
4.集约化建构：在概念结构中深化对概念的本质认识。
“数学是对结构的构建而建立起来的”（皮亚杰语）。学习新概念后，教师要对相关概念进行集约化处理，引发学生从概念间的因果关系、属种关系进行梳理。根据概念间的内在联系，引导学生用演绎、归纳、类比、推理等方法，建立概念域，形成概念系，织成概念网，由此增进概念的“生成力”。
笔者在教学“长方体与正方体的认识”时，首先引领学生观察将一个大萝卜用刀切割成长方体进而再变成正方体的全过程，学生不但形象地看到长方体“由面及棱”“由棱及顶点”以及“由面及体”的概念生发过程，更重要的是从中体会到长方体和正方体两个概念间的属种关系。不但如此，有趣的切割还让概念发生了多向关联，如长方体与长方形、正方体与正方形、面与棱、棱与顶点等，概念获得了结构化的意义。
“公倍数和公因数” 是在学生已经掌握倍数和因数的基础上进行的。教学时结合具体情境，让学生找出两个数公有的倍数或因数，引出新概念，扩充、改组原有认知结构，促进学生把新、旧概念整合成概念链。后续学习中，再将倍数和因数的相关内容与合数、素数、奇数、偶数等概念联系在一起，用“概念图”的方式把“因数与倍数”概念系统下的所有概念织成“概念网”。
总之，儿童对数学概念的习得是由浅入深、由经验及本质、由表及里的逐步深化过程。它建基于儿童的“生活化经验”，发展于儿童的“过程性探究”，提升于儿童的“结构性理解”。数学教学中，教师要有计划地发展数学概念的丰富意义，揭示数学概念的本质属性，演绎数学概念的生动发展历程。 来
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