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0w.net [摘 要] 新课程背景下的数学课堂应当成为学生探索与交流数学、构建自己数学理解的场所。数学理解是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立新知识的个人心理表征，不断完善和发展头脑中的知识网络，并能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取和解决问题。当数学知识被学生在理解的基础上内化，成为学生自身知识体系的一部分，并能灵活应用时，才真正形成了数学理解。 [关键词] 数学理解；主动建构 《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。” 《标准》还指出“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。” 所以，数学课堂不再被简单地当作学生接受知识的地方，而应当成为学生探索与交流数学、构建自己有效的数学理解的场所。 什么是数学理解？Hiebert和Carpenter认为：“一个数学概念或方法或事实被理解了，如果它成为个人内部知识网络的一部分。更确切地说，数学是理解了，如果它的内部表征成了内部知识网络的部分。理解的程度是由联系的数目和强度来决定的。说一个数学概念、方法或事实是彻底的理解了，是指它和现有的网络是由更强的或更多的联系联结着。”李士锜先生认为：“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，那么才说明是理解了”。这些界定强调了理解过程中新知识的输入及其内化，也即记忆过程，忽视了所学数学知识能否灵活输出与主体建构过程。所以我认为，数学理解应该是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立新知识的个人心理表征，不断完善和发展头脑中的知识网络，并能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取和解决问题。也就是说，当数学知识被学生在理解的基础上内化，成为学生自身知识体系的一部分，并能灵活应用时，才真正形成了数学理解。由此可见，要体现《课标》的基本理念，达到这样的目标，就必须采取多种教学方式，促进学生建构自己的数学理解。 一、创设吸引学生思维投入的问题情境 新课程理念下的数学教学，应结合具体的数学内容采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。所谓创设问题情境，就是根据教学内容，结合学生的认知发展水平和已有的知识经验，将学习内容设计成若干与学生生活接近、具有一定的趣味性和挑战性的问题。布鲁纳指出“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动。” 现代认知心理学关于思维的研究成果表明，思维通常是由问题情境产生的，而且以解决问题情境为目的。创设问题情境的实质在于揭示事物的矛盾或引起主体内心的冲突，打破主体已有的认知结构的平衡状态，从而唤起思维，激发起学生强烈的问题意识和求知欲望，引发学生积极思考，明确问题，进而愉快地解决问题。因此，教师在数学教学过程中要善于把具体的学习任务和学习活动内容巧妙地融合到一定的问题和学习情境之中。让学生通过对学习情境的感应，自己发现问题，提出问题，产生相应的问题意识，自主地或在教师地引导下，明确学习目标和内容，通过教师恰当的问题启发，积极思维，主动地参与探究活动，建构学生自己的数学理解。 例如：“一元一次方程的讨论”的教学片段 首先请看下面的问题（电脑显示） 小明家开的文具店要进一批钢笔，一种进价15元，售价18元，另一种进价12元，售价15元。请问进哪一种获利更大一些？ 同学们经过一阵思考后，课堂气氛就活跃起来了。 生1 两种钢笔每枝获利都是3元，进两种获利一样大。 生2 钢笔价钱贵、质量好，我喜欢买质量好的，进15元一枝的好卖些，卖得多获利大。 生3 进12元一枝的获利大，一样的本钱进12元的比15元的进的货多。 生4 对。比较获利的大小，得看投入与回报的比例。 经过热烈的讨论之后，同学们一致认为，在排除市场的其他因素和两种钢笔销售情况相同的情况下，进哪种笔获利更大，就要看投入与回报的比例。（商品销售利润/商品进价=商品利润率）这样的课堂教学，把一些抽象的名词，通过问题情境具体化，使同学们感受到“用数学”的实际意义，因而主动地建构数学模型，然后进一步解释、应用，从而建构自己的数学理解。 二、让学生经历知识“再创造”的过程 数学学习过程不是被动地接受教材或教师给出的现成结论，而是要通过教师组织合理的数学活动，让学生经历知识的再发现、再创造的过程，从而主动地从事数学思考，并在理解的基础上建构数学知识。 例如：在《三角形三边关系定理》的教学时，教师可以首先要求学生将事先准备好的长度为3cm、4cm、5cm、6cm、10cm、12cm的六根小木棒拿出来进行动手操作，任取三根将其首位相接，拼成三角形，接着让学生研究下列问题： ①、任意三根小棒能否拼成一个三角形？ ②、有几组三根小棒能拼成一个三角形？ ③、有几组三根小棒不能拼成一个三角形？ ④、通过上述的动手操作，请猜想三角形中任意两边的长度之和与第三边的长度之间存在什么关系？与同桌交流。 ⑤、试用简洁的文字归纳你的猜想？如何证明你的猜想？能否举例说明？ 《三角形三边关系定理》的教学不仅要让学生知道结论，会用结论进行判断，更重要的是要引导学生经历探究三角形三边关系的过程，通过实践操作、讨论、交流等活动，自己探究三角形三边关系，感悟到其中的道理，通过语言表达出来，并能实际应用，这样才能真正理解知识。本节课中学生经历了“动手操作，产生猜想—举例验证，归纳结论—推广应用”的科学研究过程，通过自我思考、与同学和教师的交流“创造”了自己所理解的数学。这样的教学方式不仅有助于学生理解数学，还有益于他们获得比单纯知识本身更重要的东西—数学方法、数学能力和对数学的积极情感。 三、鼓励学生用自己的方式表达对数学的理解 语言是思维的载体，交流与表达个人的观点是促进数学理解的一个重要环节。学生对数学的理解常常是肤浅的、不成熟的，但同时这种理解又是最有个性特点的。鼓励学生用自己的方式表达对数学的理解，学生思维的火花可以不断迸发，投入学习的情绪高涨，更能激发学生参与学习的积极性，树立起学好数学的信心，而且有利于学生在表达的过程中进一步完善自己的认知结构。所以在数学教学过程中，教师要鼓励学生将自己的思维过程讲出来，多问学生：“你是怎样想的？” “你是怎样知道……？” 学生在表达自己对数学知识的理解过程中需要不断反思。反思是对数学学习思维过程进行回顾性的思索，以获取学习的经验或教训。理解之所以能从低层次到高层次，关键靠学生主体不断地进行反思和抽象。反思和抽象是不断提高数学理解水平的重要手段。因此，教学中要给学生主动权，不能拔苗助长、急于求成，让学生有时间、有机会对自己的思维活动过程进行反思，通过观察、反思、抽象和改进等思维活动来提升对新知识的理解。 四、引导有意义的数学学习方式 数学的理解是以已有的知识和经验为基础的。新课标倡导自主探索、合作交流与实践创新的数学学习方式。教师在数学课堂中，要能够从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中激活原有的认知结构，并通过重组和调整，沟通新知识与原有知识的联系，促进学生真正理解和掌握基本的数学知识技能，数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。 例如：在七年级上册的总复习中，我设置了一道游戏型的题目：每个人选一个游戏伙伴到操场上去玩“石头、剪子、布”的游戏，游戏规则是，两人之间先画好一条南北方向的直线，在线上找一点作为游戏起点，胜利者向南进一步，负者向北退一步。而后完成以下作业： （1）对游戏过程中的胜负情况列表； （2）联系游戏，利用你所学知识编出尽可能多的问题，作为作业交给同桌解决。 看似一个平常的游戏，经过同学们深思与挖掘，收获不小。这里仅举一位同学的作业： （1）我的游戏对象是小刚，我的胜负情况列表如下： + - - + + - - + + - + + + - - - - - + - - - + + + （2）问题：①、请列出小刚胜负情况的表格； ②、游戏结束时，我站在起点的什么地方？我们所站的位置与起点有什么关系？ ③、以起点为原点，向南为正，在数轴上画出我们游戏结束时的位置。 ④、在此游戏中，我一共走了几步？ ⑤、请画出我的胜负情况条形统计图。 学生游戏与提问的过程是对生活数学的理解以及对所学数学知识深化的过程。在这过程中增强了学习的兴趣和动力，认识到学习数学的意义和价值，这样，学生所获得的知识才识深刻的、清晰的、牢固的。 五、合理地加强解题训练 数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”。他把解题作为教会学生思考，培养学生独立探究能力的一种手段和途径。有观点认为：传统教学中的解题训练是一种浪费，是对学生创造力的扼杀。实际上我们应该认识到，题海战术、无限制地强化训练是错误的，但是必要的、合理的解题训练仍然是学习数学过程中所必须的。美国心理学家吉尔福特认为，创造性思维具有流畅性(fluency)、变通性(flexibilty)，独创性(originality)三个特征，其中的流畅性，是在一般性的思维定势上产生的。熟能生巧，“熟”是前提，是必经阶段。学生在构建自己的知识体系时，一般是在教师的引导帮助下，对自己的实践活动进行思考，发现规律，形成概念和技能。这项训练达不到一定的量，其概念和技能的形成就不够牢固。学生在解题的过程中通过有意反思来增进对数学知识的理解和对方法与技能运用的体验。通过透彻理解，清楚方法原理的条件和结论，然后再多角度、换方位地思考，形成更丰富的技能，产生了新的思维火花，使知识升华到“数学理解，并能融会贯通”的境界。 数学解题训练不只是埋头做题，训练的方式有多种，有作业训练，有小实验，有分组讨论题，有指定上网查询，有社会实践活动，有高科技的成果介绍等等，这些都是训练的方式，这些训练能够在知识整合的基础上向广度拓展，从课堂教学向社会生活延伸，从而达到促进学生建构自己数学理解的目的。 例如，对于一元二次方程 的根与系数关系原理，只是记住关系式 和 是不够的，还需要理解它使用的前提条件，那就是 。通过合理的训练，形成有关解决一元二次方程根的问题方面的程序性知识——先判别，再计算。只有通过一些基本的解题训练，学生才可能达到对知识的真正理解、掌握和熟练运用。 当然，由于学生存在着差异，所以，学生的理解也有着不同的层次和水平，但只要它与事物的本质和规律的认识相联系，都可以称为理解。对于同一个数学知识，不同的学生有自己不同的认知角度、认知方式和认知结果，而我们要做的是为每一个学生提供从事数学活动的机会，以及有价值的认知方法和结果让他们去感受、去选择，从而为学生建构自己对学习对象的数学理解创造条件。 总之，数学理解是数学学习的关键，只有当学生对学习的知识建构起了自己的数学理解，才能将数学知识转化为实际能力。所以，教师要创设吸引学生思维投入的问题情境，引导有意义的数学学习方式，合理地加强解题训练，引导学生主动建构自己的数学理解。 参考文献： 中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）.北京师范大学出版社.2001 Douglas A.Grouws.《Handbookl of Research on Mathematics Teaching and learning》[M].New York:Macmillan publishing company,1992.67 李士锜．《数学教育心理》[M]．上海：华东师范大学出版社，2001.64 来
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