小学生几何直观能力培养的实践研究 |
| 所属栏目: 数学论文 更新时间:2020-01-26 点击次数:
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0w.net “几何直观”一词在以往的教学中一直是隐形于教师心中的，自从《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布以后，培养学生从几何直观上分析问题、解决问题的能力，已成为数学教学的一项显性的重要任务。到底什么是“几何直观”？培养小学生的几何直观能力对数学学习有哪些意义？在小学数学中，如何将几何直观的培养落到实处？成为了广大一线数学教师重新审视与思考的问题。
一、几何直观和几何直观能力1.几何直观的几种不同阐释《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
（1）”由形及数，即‘形’中觅‘数’，根据图形结构关系，寻找恰当解决问题的数量关系式，将几何问题代数化，利用代数的算法化优势，以数助形，使问题获解。“（邵光华《作为教育任务的数学思想与方法》）（2）几何直观中含有数形结合中的”由形到数“的这一方向。但几何直观又不仅仅是”由形到数“，还有由形到其他领域的问题。（刘晓玫《再谈”几何直观“ 》）（3）几何直观是一种立足于”形“却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式，它是基于表象的、在人头脑中进行了的”快捷推理“。（顾志能《对”几何直观“概念的几点辨析》）2.几何直观能力的内涵结合学习研究，我们认为几何直观能力是指借助于见到的或想象出来的几何图形的形象关系，对数学的研究对象，即空间形式和数量关系，进行直接感知、整体把握的能力。既有深刻的形象思维特点，又有强烈的抽象思维特点。它对于学生来说是一种从动手操作或从图形中，借助观察或想象等方式所形成的一种经验，当这种经验在一定的数学活动中酝酿、发酵之后，便实现了一个从”形“到”数“的思维跳跃过程，由此悄然形成了一种关于解决此方面问题的直觉。借助于这种经验与直觉，能够运用图形进行思考与表达。
二、几何直观能力对数学学习的意义数学家希尔伯特：”图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。这就是几何直观带给我们的好处。“几何直观能力的形成具有以下几个意义。
1.使复杂问题简单化，便于发现和研究问题比如，在教学有余数除法时，需要引导学生理解”余数要比除数小“这一规律，采用让学生用不同根数的小棒（13～20根）搭正方形的方法，通过观察搭正方形后剩余的小棒数量，学生便可以从余数中发现都比正方形所需要的4根这个数要小的规律。如果出现≥4时，引导：”还能再搭出一个正方形吗？“从而引导学生发现余数要比除数小的规律，理解余数为什么比除数小的原因。
2.使抽象问题具体化，便于直观的理解小学生数学学习更多的需要从经验入手，通过观察比较，或通过动手操作，从而获得对图形的认识，并发展空间观念。如在推导平行四边形面积公式时，引导学生通过观察，想象把平行四边形转化为学过的长方形，即沿着平行四边形的高剪下一个三角形拼到另一侧就可以转化为长方形，在这样的猜想、尝试与操作对比的过程中，学生能够发现并找到两者之间的联系，从而推导面积公式并体会到转化思想，为后面其他图形面积公式的推导作以思考导向。
3.帮助学生有效寻求解题策略心理学家皮亚杰根据儿童的认知理论将儿童化为四个阶段，而小学生正处于具体运算水平阶段，很难理解复杂的数量关系，我们只有借助图形使之直观化，形象化，简单化，才能帮助学生有效寻求解题策略。例如：在教学新世纪小学数学（北师大版）第3版教材五年级数学上册第一单元”数的奇偶性“一课时，”小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。摆渡过11次后，船在南岸还是北岸？为什么？“问题出示后，学生自然而然地把手当作小船来回摆动，或是如课本上图示，来解决问题。这就是把问题的呈现进行直观化，几何化的一个过程。
”（2）有人说摆渡100次后，小船在北岸，他的说法对吗？为什么？“一部分学生产生困扰：”要这样来回摆100次吗？“于是，单纯地依靠操作便难以很快解决问题，此时，若是引导学生以表格的形式呈现出摆渡次数与船所在的位置关系表达出来，学生便可以找到规律迅速而正确地解决有关此类问题。
充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也是学会数学的一种思考方式和学习方式。
三、小学生几何直观能力培养策略的实践与思考华罗庚先生有一首小词：”数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！“这首词形象生动、深刻地指明了”数形结合“思想的价值。东北师范大学的史宁中教授曾提到，小学阶段培养的重点在于会借形来思考与表达。小学数学学习更多地关注的是实验几何、经验几何和直观几何，让学生感受几何直观的作用，培养学生的几何直观能力。
1.教师要具有几何直观意识教师的几何直观意识对学生的思维起着导向性的作用，有助于促进学生几何直观意识的形成，有利于学生直观思考习惯的形成。
比如，列表是思维的一种直观呈现方法。关于列表的使用，在新世纪小学数学（北师大版）第3版教材五年级上册第三单元后的综合与实践”旅游费用“中提到的关于租车的问题，可以说列表解决问题的作用比较突出，有利于学生进行有序地、不遗漏地思考。
此节教学中，笔者比较注重引导学生用列表呈现思考的结果。在后续的教学中，有关此类问题的解决大部分学生不仅采用列表呈现，而且借助列表能正确地解决问题。更可喜的是在后续解决”鸡兔同笼“问题时，学生还能自然地借助于表格形式进行呈现。当又借助于列表在教学”鸡兔同笼“问题进行思维呈现之后的一两年中，笔者发现，原来一直不被学生接受的列表已成为学生自然而然的思维呈现方式。
2.增加学生体验的机会，使学生感受数学几何直观的妙处与乐趣在以具体形象思维为主要特征的小学阶段，教材中有大量的引导学生进行直观思考的机会，或是动手操作，或是借助于图形来思考等等，把握这样的机会，并适时创造这样的机会使学生在学习数学的过程中感受到数与图形结合起来的乐趣，增加学生学好数学的信心。
比如，教学新世纪小学数学（北师大版）第3版教材三年级下册”比赛场次“一课。原题：2003年第4届世界杯女子足球赛，中国队所在的小组共有4支球队，每2支球队之间都进行一场比赛。（1）中国队在小组赛中要进行几场比赛？（2）整个小组共赛多少场？
笔者在教学时从三个队之间的比赛入手进行引导，用A，B，C三个字母代表不同队，借助于不同颜色的粉笔结合图示引导并列出了一共需要比赛多少场的算式，然后，进行比赛队伍数的增加，逐步形成了上面的四边形、五边形与六边形。当在五边形里形成了一个美丽的五角星图案时，全班学生不由地发出惊奇的赞叹声。当六队之间的比赛场次情况则形成了一个美丽的六边形时，学生想到了不仅是弹子跳棋的设计，还想到了那从天空中飘落的雪花。对图形的观察中学生不仅找到了算式产生的来源，体会到的数字的神奇，数学的奇妙，数与形结合的奥妙与美。
3.鼓励解决问题方式多样化，使几何直观成为一种自然在使用新世纪小学数学（北师大版）教材的过程中我们发现，教材中有许多的问题呈现方式借助于图来呈现，有许多的解决问题的方法，不仅有着传统的数与式的运算，更有着图与形的引导与呈现。
（1）借助多样化的图形理解题意。比如新世纪小学数学（北师大版）第3版教材五数下”分数应用题（二）“一节的教学，在出示题目后，学生可以借助于图来理解题意。
在引导学生理解”第二天比第一天多1/5“时，可以借助于不同的方式来表达。
上面的8幅图是在老师出示题目之后，让学生自己理解题意后的图示，反映出学生正确的理解与多样的表达。学生不同的表达方式在班级进行交流与分享后，便给学生留下强烈而直观的印象，直接促进学生几何直观能力的形成。
（2）借助多样化的图形呈现解决问题方法。使学生不仅有选择思考自己喜欢方法的机会，还在题目与解决问题方法的不同呈现方式中形成多样化的思考及几何直观思考习惯的形成。
比如，在教学新世纪小学数学（北师大版）第3版教材三年级数学下册”住新房“一课计算12×14时，除了教材中呈现的方法之外，把住房中的每户用一个圆来表示，帮助学生理解的点子图是住房图的一种抽象后直观地表达。在点子图上，学生可以直观看到每一步算出的是哪一部分，理解两位数算法的算理。学生再进行乘法的计算时，自然地想到点子图，并借助于图来思考与表达，为后续的乘法分配律的学习及直角坐标系的认识等知识做铺垫。
4.鼓励学生动手操作，体会数与形的紧密联系数与形的存在并不是孤立的，但在日常教学中常常把它们单独呈现，造成数与形的分家。根据小学生的特点，鼓励学生动手操作从中体会数与形不是相互割裂的。比如笔者在对新世纪小学数学（北师大版）第3版教材五年级上册”找因数“一课的研究中，曾在四年级进行”借助于图形的直观理解找因数“方法的成功尝试，主要流程如下。
（1）用12个小正方形拼成一个长方形，有哪几种拼法？请你试着想一想、拼一拼或画一画。
（2）集体交流拼法。
（3）用乘法算式来表达自己的拼法。
（4）根据乘法算式中数的特点把拼法排序。
（5）观察乘法算式中的数与12有着怎样的关系。
（6）引出”找因数“。
（7）去掉相同因数的拼法的一组。
在引导学生把”用12个小正方形可以拼成哪几种长方形“的教学之后，让学生找9和15的因数，这时学生没有动手操作，也直接用乘法算式说出了9和15的因数，在找24的因数时有五分之一的学生用小正形画出拼的图。
从学生的这种表现可以看到操作所产生的直观对于找因数的作用，对学生已产生了深刻的印象，在学生的头脑中把找因数与用小正方形拼的方法自觉地联系地一起。实现了从”形“到”数“的思维跳跃过程。
总的来说，发展学生的几何直观能力，最重要就是做好形象与抽象、直观与理性的有机融合。虽然本次课题研究暂告一段落，但我们的思考还远远没有结束。正如秦德生和孔凡哲在文章中谈到的”几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。来
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