巧求初相角速解题

      巧求初相角速解题

                                                       ◎王卫华

求初相角是高中数学学习中的一个重要知识点，也是一个难点，涉及到求初相、相位、求三角函数解析式、分析图象性质、图象变化等题型，本文专门谈谈怎样求初相角．
一、反代法
例1．(2003年全国高考文科题)函数y＝sin(x＋φ)(0≤x≤π)是R上的偶函数，则φ＝()
A．0B．π4
C．π2D．π
解：把φ＝0，π4，π2，π分别代入原函数验证，可知仅当φ＝π2时为偶函数，故选C．
说明：一般的，如果题目是选择题，可用反代法的思路将选择枝代入检验，这可以大大节约时间，提高命中率．
二、巧用图象与函数式之间的联系速求初相角
例2．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象(其中φ＜π2)，那么()
A．ω＝1011，φ＝π6
B．ω＝1011，φ＝－π6
C．ω＝2，φ＝π6
D．ω＝2，φ＝－π6
解：观察各选择答案可知，应有ω＞0，观察图象可看出，应有T＝2πω＜2π，∴ω＞1，故可排除A与B，由图象还可看出，函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象是由函数y＝2sinωx的图象向左移而得到的，∴φ＞0，又可排除D，故选C．
说明：在求解此题时，可充分利用图象与函数式之间的联系，也可用排除法来巧妙求解．在高考中主要考查已知函数图象或已知函数的性质求解析式，关键在于求A，ω，φ等三个量，反过来已知解析式可以画出其图象．
别解：由图可知，点(0，1)和点(11π12，0)都是图象上的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sinφ＝1，即sinφ＝12，又｜φ｜＜π2，∴φ＝π6．
又由“五点法”作图可知，点(11π12，0)是“第五点”，所以ωx＋φ＝2π，即ω·1112π＋π6＝2π，解之得ω＝2，故选C．
例3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)图象的一个最高点(2，3)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求φ．
解：由已知可得函数的周期T＝4×(6－2)＝16，
∴ω＝2πT＝π8，又A＝3，∴y＝3sin(π8x＋φ)把(2，3)代入上式得：3＝sin(π8×2＋φ)·3，∴sin(π4＋φ)＝1，而0＜φ＜2π，
∴φ＝π4，所求解析式为：y＝3sin(π8x＋π4)．
评析：待定初相位时，既要思考过点，又要思考点所在的单调区间或五点中按序的第几个点，整体变量解出初相位．
三、利用最值思想巧求初相角
例4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，｜φ｜＜π2）在同一周期内，
当x＝π12时，y有最小值－2，当x＝7π12时，y有最大值2，求函数的解析式．
分析：由y＝Asin(ωx＋φ)的图象易知A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即T2，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求φ．
解：由题意A＝2，π2＝7π12－π12，∴T＝π＝2πω，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)，又x＝π12时y＝2，∴2＝2sin(2×π12＋φ)，∴φ＋π6＝π2，∴φ＝π3．
∴函数解析式为：y＝2sin(2x＋π3)．
四、利用函数的奇偶性探求初相角
例5．(2003年江苏)已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4，0)对称，且在区间［0，π2］上是单调函数，求φ的值．
分析：抓住函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，且有f（－x）=f（x），这点是解决本题的关键．
解：由f（x）是偶函数，得f（－x）=f（x）．
即sin（－ωx+φ）=sin（ωx+φ），
∴－cosφsinωx=cosφsinωx对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．
依题设0≤φ≤π，所以得φ=π2．
评析：函数的奇偶性是指判断y＝Asin(ωx＋φ)型的奇偶性，或已知奇偶性求参数．对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(φ≠0)，当φ＝kπ(k∈Z)，则函数f(x)为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则函数f(x)为偶函数；否则一定是非奇非偶函数．
本小题考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．
五、由函数的对称性巧求初相
例6．（2005全国卷Ⅰ）设函数f(x)=sin(2x+φ)(－π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=π8．（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调增区间．
解：（Ⅰ）∵x=π8是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×π8+φ)=±1，
∴π4+π=kπ+π2,k∈Z.
∵－π<φ<0,φ=－3π4.（Ⅱ）略．
评析：正弦y=sinx的图象的对称轴为直线x=kπ+π2(k∈Z)，其对称轴与x轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x值．本题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．
六、由函数的单调性巧求初相
例7．如图，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，｜φ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式．
解：∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴2π3＋φ∈［π2＋2kπ，2π3＋2kπ］(k∈Z)，由sin(2π3＋φ)＝0得2π3＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)，∵｜φ｜＜π，∴φ＝π3．
七、起始点法
例8．题目见上面例7．
解：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx+φ=0解得的，故只要找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得角φ.由图象求得x0=-x2，∴φ=-ωx0=-23(-π2)=π3.
评析：由ωx+φ=0求初相如果代错了点，很有可能得到错误的结论．
八、平移法
例9．题目见上例7．

（原载2008年4月《数理天地》）