均匀随机数产生的若干办法及其应用

A版数学3给出了传统教材没有的全新内容──算法和概率统计。其中，在概率这一章引进了几何概型、均匀随机数的产生等具有实际意义而又颇为抽象的内容教授这些内容对教师和学生来说都是全新的。如何在课堂教学中加以把握是有待研究的。下面是我们在讲授均匀随机数的产生的一些具体做法，不妥之处还请大家指正。

均匀随机数在现实生活的作用越来越大，比如在网站上输入的验证码，彩票中奖号码的产生等等都是用产生均匀随机数来实现的。然而随机试验花费大量的人力、物力，需要一种新的便捷方法，这样就产生了用计算器产生指定两个数之间的均匀随机数的问题。

一、用TI图形计算器直接产生的均匀随机数

1.产生随机小数

（1）产生（0，1）之间的均匀随机数：输入格式为：rand（），然后按Enter得到图1：

图1

（2）产生（a，b）之间的均匀随机数：

如果试验的结果是区间（a，b）上的任何一点，而且是等可能的，如何产生（a，b）之间的均匀随机数呢？

图2

（3）产生（0，n）之间的均匀随机数：输入格式：n*rand（）；

2.产生随机整数

产生［1，n］（n＞0）之间的随机整数：输入格式：rand（n）；

产生［n，-1］（n＜0）之间的随机整数：输入格式：rand（n）；

3.产生［a，b］之间的随机整数：输入格式：rand（b-a+1）+a-1；

二、用TI图形计算器，利用编程产生随机数

利用编程产生随机数的方法很多，比如：平方取中法、乘积取中法、位移法、线性同余法、组合同余法、反馈唯一寄存器法等等。这里我们主要介绍线性同余法。

线性同余法：一般递推公式为：

c为增量（加数），且M，a，c，x₀均为非负整数。

给定一组参数M，a，c，x₀，就可以得到一列数r₁，r₂，…，它是否具有类似于均匀随机变量的独立抽样序列的性质，与这些参数的选择有关。例如，用下面的递推公式产生的随机数就是比较好的随机数：

利用TI图形计算器进行编程设计，

算法程序语句如图3：

图3

运行程序：输入：n=3，输出结果：如图4：

图4

三、应用举例

例1　用TI图形计算器的程序设计，产生5个随机数。

解：用TI图形计算器输入：程序如图5；产生的随机数如图6：

图5

图6

例2　取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？

分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍（0，3）内的任意数，并且每一个实数被取到的可能性是相等的。因此，我们可以利用随机模拟的方法来计算概率。

解：（1）利用TI图形计算器产生一组（0，1）区间的均匀随机数，a₁=rand（）；

（2）进行伸缩变换：a=a*3；

（3）做100次试验，即N=100，数出［1，2］内随机数个数N₁，用TI图形计算器产生均匀随机数如下图7，并统计出［1，2］内随机数的个数N1和总样本随机数个数N；

图7

如上图7，这组数据中总个数为7，［1，2］内随机数的个数为4。依此，产生100个随机数，得到［1，2］内随机数的个数为：N₁=165。

例3　利用随机模拟的方法近似计算图形的面积：y=x²+1与y=6所围区域的面积。（如图8）

图8

图9

解：如图9所示，作出矩形ABCD，AB，CD两边所在的直线方程为x_AB=-，x_CD=。

利用随机模拟的方法计算出落在阴影内的样本点数和矩形内的样本总数，求出它们的面积的近似值。

（1）利用TI图形计算器产生两组（0，1）区间的均匀随机数，a₁=rand（），b₁=rand（）；

（2）进行平移和伸缩变换：a=（a₁-0.5）*=（rand（）=0.5）*25，b=6*b₁=6*rand（）；

（3）对一组随机数（a，b），如果满足b≥a²+1，即

用TI图形计算器产生两组均匀随机数如下：

图10

图11

如上图10，图11两组数据中总点数为6，阴影内的点数为5。依此，产生1 000组数据，得到落在阴影内的点数为N₁=884。