谈数学建构的重要基础

　　建构主义学习理论是课程改革的重要支柱性理论之一，根据建构主义学习理论，学生的知识不是教师教出来的，而是学生自主构建出来的，在学生的学习过程中，知识的生成主要靠学生的自主构建，而教师只是在其中发挥一些辅助性的、指导性的、帮助性的作用. 真正从学生学习的角度看待这一过程，笔者感觉这一理论对课程改革以及对于实际的高中数学教学有着明确的指导意义. 众所周知，高中学生的数学学习过程，就是一个数学建构的过程，即将形象的生活知识数学化为抽象的数学知识，或者在原有抽象知识的基础上依据数学逻辑关系，建构更为复杂抽象的数学知识的过程.实际教学中的挑战，在于如何让学生的数学建构过程更为有效，研究表明，情境创设在其中起着非常重要的基础性作用.

　　学习情境的创设，贵在为数学建构奠定基础

　　学习情境的创设自课改以来就日益受到重视，但实际教学中存在着相对普遍的为情境而情境的情形，这样的教学行为显然是忽视了情境发挥作用机制的产物. 研究表明，情境创设的最大价值，就在于为学生的数学建构提供可能.

　　以“任意角的三角函数”(苏教版高中数学必修4，第一章)的教学为例，教材中在建立任意角的三角函数的概念与定义的时候，是在复习初中阶段利用直角三角形定义锐角三角函数的方式来进行的. 在此基础上提出了问题：如何将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数?这样的教学设计的好处在于能够在学生原有知识的基础上去构建新的认识，缺点在于如果学生对利用直角三角形定义锐角三角函数的知识不熟练，那就有可能此处再煮“夹生饭”. 那么，有没有可能为绝大多数学生(面向全体的原则)创设一个利于他们进行数学构建的情境呢?对此，笔者进行了尝试.

　　分析教材中的设计，可以发现其也可算一个情境，只不过这个情境由原有的知识来构成，缺少形象性，学生不容易在这个情境中真正调动思维. 相应的，本知识学习的情境化设计就可以走形象化之路，通过情境的促进作用，促使学生的思维积极主动起来，以让学生有效地建构新学知识. 笔者的设计是这样的：有一个摩天轮，其中心距离地面的高度为H，其半径为r. 现让其逆时针方向做匀速圆周运动，且转动一周需要6分钟的时间，如果你从与圆心同一水平面的A位置(位于圆心右边)出发，那30秒后你所处的位置可以怎样描述?

　　这是一个非常形象的问题，学生面临的不再是一个抽象的数学图形，而是一个具体的、有形的甚至是亲身体验过的过程，在这个过程中，学生思维加工的对象首先是这些具体的事物. 同时这个情境中学生思维的对象(摩天轮)又可以通过学生的思维转换，变成数学上常常用来分析的圆，这就是人们常说的数学抽象，这个过程显然是属于思维过程的. 再具体一点，摩天轮上A点的运动，则可以转换为A点在圆上的匀速圆周运动. 而确定30秒后A点的位置，也就可以转换成确定A点在圆上的位置.只不过问题强调的是对后来A点位置的描述，这就需要学生在发散思维的过程中寻找到一个自己熟悉的描述方式.

　　有此基础，后面的数学建构过程会十分顺利.

　　数学建构的过程，需要与学习情境前后呼应

　　学习情境不能只成为知识引入时的配角，而应当成为学生构建数学知识过程中的主角. 事实证明，只有学习情境满足了这种知识引入与知识建构时的呼应关系，高中数学教学才能更有效地进行.

　　事实上在上面“任意角的三角函数”知识构建中，学习情境就发挥了这样的作用. 具体地说，任意角三角函数的最终指向是正弦、余弦、正切的定义，关键的则是定义中的比值的确定，为什么是、、，而不是其他，这应当是优选的结果，而优选的过程，也正是任意角三角函数概念从初中理解走向高中理解的过程，从浅层化走向深刻化的过程. 因为学生在思维的过程中一般需要解决这样的几个问题：将摩天轮转换成坐标系上的圆具有什么样的一般意义?以、、代替初中阶段的理解有什么样的好处?这体现了数学知识的什么特点?

　　这些问题的解决，在学生思维中具体的建构过程是怎么样的呢?根据笔者在教学中的了解，学生的思维过程大概是这样的：对于第一个问题，一个具体的事物(如本题中的摩天轮)与数学模型之间存在着的关系，决定了学生思维的迅捷程度，当学生思维比较迅速、大脑中数学模型比较多的时候，就可以迅速地将具体事物抽象成数学模型;而对于第二个问题的分析，关键则在于构建过程中，通过数学模型的比较进行优化，这个选择的过程实际上是深化之前所建起的数学模型的过程，学生的思维在这个过程中往往会经过隐性的、缄默的成长，而数学构建的能力也就由此形成. 至于第三个问题，笔者设计的意图更多的是让学生从数学课程的角度思考具体的学习过程，对于高中数学学习来说，这样的高度还是必要的，因为只有从课程的角度理解数学学习，才能让数学学习的过程具有一种方向性，从而化解具体数学难题解决过程中遇到的困难心理，并且可以提升数学构建能力，提升构建品质.

　　同时我们认为，这三个问题是一体的，但又确实有分开提的必要，因为对于这个学段的学生来说，通过基于变式思想的提问，可以促进学生对同一问题的深刻理解. 学生理解的过程当然也是完成数学构建的过程，笔者的教学经验表明，学生在面对这三个问题的时候会有这样的心理活动：从生活中的摩天轮向坐标上圆的转换过程，实际上是用数学语言去描述生活的一种方式(学生认识到这一点之后，教师可以提供类似于此的别的事例来加深学生的认识，如教材上所给出的相关例子等)，于是数学构建的过程就成为现实;当然这还不够，在这个过程中还会有学生依赖情境去构建数学知识的过程，比如说A点的运动过程中会处于不同象限之内(时间不同)，这个时候学生思维加工的对象还会从已经抽象的坐标上的圆，回到更为形象的摩天轮上去，但同时学生的思维并没有忽视坐标上的圆这一抽象对象的存在. 也就是说，对于大部分学生而言，此时思维加工的对象是在形象与抽象之间不停地转换，而这与数学构建的过程恰恰是一致的，因为数学构建的过程，就是从形象到抽象，当抽象出现困难时又转到形象上的过程.

　　基于情境的建构，高中数学教学的重要思路

　　基于以上的分析可以看出，基于情境去完成数学构建，是高中数学教学的重要思路，是从学习思维角度关注学生数学学习过程的重要途径.

　　有学者指出，学生基于情境进行数学学习的过程，就是基于学生的“数学现实”，发展学生的“数学现实”，从而建立新旧知识之间非人为的实质性联系，以经历“数学化”并学会“数学地思维”的过程. 笔者以为，对这段话的理解应当是：高中数学教师在教学的过程中，需要精心地创设数学学习的情境，利用情境去促进学生对数学知识的建构，可以让学生在思维加工的形象对象与抽象对象之间有效地转换，从而使得思维不至于因为加工对象的模糊而断开.

　　这里尤其需要重视的就是学生的思维对象清晰与否的问题，因为其直接关系到学生的思维加工对象是否可靠，关系到构建过程是否顺利. 因此，研究学生的“数学现实”就成为一个很重要的内容，事实上建构主义学习观点对“现实”也是极为重视的，认为其是学生有效构建得以发生的第一个重要基础，实际教学中的挑战在于，数学教师如何才能准确地把握学生的数学现实，因为数学现实更多的是主观建构的结果，并非一种外在的物化体现. 传统教学中，根据学生的作业与考试情况可以判断出学生的学习情况，新课程下的高中数学教学不仅要延续这一传统，还需要更多的教师与学生之间的直接交流，以更准确地把握学生数学学习的过程. 应当说，在较大的应试压力之下，要真正做到这一点，还是存在不少困难的.但从学生有效建构数学知识的角度来看，这一努力又是必需的. 同时，相关的课题研究也是必要的，笔者曾经就“学生数学知识构建过程细化研究”做过系列思考，发现这样的研究思路可以促进自身系统而持续地关注某一个话题，从而也就让自身对数学教学的理解，尤其是对学生构建数学知识过程的理解变得更加深刻.

　　也因此，高中数学教学中对于情境的认识，要从新课引入时借助教学手段而实现的技术性认识，转移到基于学生的学习思维来构建数学理解的学术性认识上来. 如此，有效教学才有可能真正实现!