从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示

　　毕业会考已经结束，本人想就一道中考题的解答，对注重数学思想与数学方法的教学，培养学生的创新思维能力，谈谈自己粗浅的看法。这对我们今后的教育教学和升学指导工作将是十分有益的。

　　首先我们来看邵阳市2007年数学中考的压轴题，然后加以分析和解答：

　　例：如图(十一)，直线数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示与数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示轴、数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示轴分别相交于点A、B,将∆AOB绕点O按顺时针方向旋转α角，(0°<α≤360°)

　　(1)求点A、B的坐标;

　　(2)当点D落在直线AB上时，直线CD与OA相交于点E，∆COD与∆AOB的重叠部分为∆ODE(图①).求证：∆OED∽∆AOB;

　　(3)除了(2)中的情况外，是否还存在∆COD和∆AOB的重叠部分与∆AOB相似，若存在，请指出旋转角数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示的度数;若不存在，请说明理由;

　　(4)当数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示时(图②)，CD与OA、AB分别相交于点P、M，OD与AB相交于点N，试求∆COD与∆AOB的重叠部分(即四边形OPMN)的面积.

　　数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示

　　分析：此题起点不高，但要求较全面，本题蕴含了“数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、三角函数与一次函数、直角三角形与等边三角形、旋转变换与图形组合”等一系列的数学内容，是一道综合性相当强的试题。同时这道题还考查了初中数学中最重要的数学思想：数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。

　　本题似曾相识又不相识，融入了动态几何的变与不变，要求学生动中求静、静中思变，有一定难度，但上手还是容易的。

　　本题有四问，相当于四个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生正常水平的发挥。而通过层层设问，拾级而上，逐步深入，能够使一部分优秀学生数学水平得到体现，起到了中考——————升学考试选拔的功能。这是一道极不多见的好题。

　　第(1)问是基础，根据函数图象与坐标轴的关系，利用数形结合，建立两个一元一次方程，即可得出结论。这是一次函数教学中最基本的教学要求。所以第(1)问起点低，上手容易，绝大多数学生都能够比较轻松的给以解答。

　　第(2)问比第(1)问提升了至少两个档次，它不但要求学生能在解答了第(1)问的基础上得出∆AOB是一个含60°角的Rt∆，同时还要求学生既要具有基本的几何运动的变化思想，又要具备基本的观察和逻辑推理能力，同时还要掌握图形旋转变换的性质和相似三角形的判定方法。这种要求层次是义务教育初中几何教学中的较高层次，因此能够对这一问进行正确解答的同学比例会有明显下降。

　　要能对第(3)问进行正确解答，对学生的要求就更高了。既要求学生具有较强的几何运动的变化和分类讨论思想，同时还要求学生具有较高思维拓展空间。这就给我们的教师教学带来了一种更高的要求，努力培养学生的创造性思维是当今教学的一个主要方向。这一问的解答必须要求学生在平时学习中养成一种勤动手勤动脑的良好习惯，以便积累更多的知识，才能得出：当α=300°时，∆AOB和∆COD的重叠部分也与∆AOB相似。(这一问容易使学生产生一种错误想法，主要是由于在平时的练习中产生一种定性思维，把旋转范围理解在0°～180°之间，从而得出不存在的错误结论)。

　　第(4)问考查了学生的图形组合和几何计算能力，既要善于观察和推理判断，又要有耐心细致的精神和准确的计算能力，更要全面细致的分析。首先要充分运用特殊直角三角形的性质，仔细审题，抓住阴影部分是由一个正三角形和一个特殊的直角三角形的差所组成，只要利用三角形的面积计算公式，求出这两个三角形的面积，即可得出阴影部分的面积。简解如下：

　　(1)由题意得：当y=0时，x=2数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示;当x=0时，y=2。

　　所以A点的坐标为(2数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示，0);B点的坐标为(0，2)，

　　(2)利用直角三角形的性质，由(1)问得出∠OBA=60°，由旋转的性质易得∆OBD为正三角形。

　　所以，∠DOE=30°=∠OAB，且∠OBA=∠ODE，

　　所以，∆AOB∽∆DEO

　　(3)除(2)外，当旋转角α=300°时，∆AOB和∆COD的重叠部分与∆AOB也相似。

　　(4)由(1)知：OB=2，OA=2数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示

　　当旋转角α=30°时，易知∠DOP=60°=∠D，所以∆DOP是正三角形，所以∆DOP的面积=数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示·OB²=数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示;由三角函数易得：ON=OB·sin60°=数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示，所以ND=2-数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示，容易推证：∆DMN是∠DMN=30°的直角三角形，所以：MN =数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示ND=2数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示-3，所以∆DMN的面积=数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示，所以:四边形OPMN的面积

　　=数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示-(数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示)=6-数学论文:从一道中考题 谈“注重数学思想与方法”教学的启示。

　　以上是我对今年湖南省邵阳市的中考数学压轴题进行了分析和简解，它对我们在注重数学思想与数学方法、培养学生创新思维能力方面有哪些启示呢?

　　一 在对教师教学思想的认识方面

　　九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分，在大纲中明确提出来，这不仅是大纲体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。

　　所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。

　　数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程度时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。

　　1、数学大纲对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。

　　在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程(组)的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。

　　教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在教学大纲中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们失去信心。如九年级上册中明确提出“反证法”的教学要求，教学大纲把“反证法”定位在“了解”的层次上，因此，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。

　　2、从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。

　　关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学：二元方程化归为一元方程;二次方程化归为一次方程等等，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化。课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想;同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处理，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。比如，运用类比的数学方法，在学习一次函数的时候，我们可以用二元一次方程(组)进行类比;在学习二次函数有关性质时，我们可以和一元二次方程的有关性质进行类比。通过多次重复性的演示，使学生真正理解、掌握类比的数学思想和方法。

　　3、在教学上认真了解“思想”,努力渗透“方法”。

　　由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。比如，教学“二次不等式解集”时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”，利用数形结合方法，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。

　　二 在对开发学生思维、培养创新能力方面

　　从这道中考压轴题的设计中我们已经清楚地看到：

　　1、邵阳市的课改已从中考这个教育教学最有力的“指挥棒”上开始行动起来了。它要求每个学生对中考数学压轴题都可以动手，起码得个2至5分，何况其它题呢?因此，我们今后的数学教育教学要扎扎实实按照实施素质教育的要求去做，确实体现新课改“以学生发展为本”的教育理念，减轻学生过重的课业负担，狠抓基础教学，重视“双基”训练，包括抓好概念的辨析、主要公式的记忆、数学解题程式的掌握、化归的数学思想等，争取让所有学生达到新课程标准的基本要求。

　　2、从今年邵阳市的中考数学压轴题中，我们可以看到在考察学生基本运算能力、思维能力的同时，对优生还要着重考查学生灵活运用数学知识分析和解决问题的能力。因此，我们今后的数学教育教学中，对这部分学生的培养，应设计一些可考查他们灵活运用数学知识分析和解决问题的习题，但不要人为编造繁难的计算题和证明题。立意要新，要特别注重于创新意识和发散性思维能力的培养。

　　3、今年邵阳市的中考数学压轴题中，与往年相同，着重考查了学生对数学思想方法的理解和掌握。因此，给我们的启示是：在今后的数学教育教学中，重要的数学思想方法，如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想的教学要加强，而不是削弱。从今年邵阳市的中考数学压轴题学生的解答中，我们可以知道：要使这个题完全正确得满分，也是不易的。笔者监考的一所普通中学考生所在的考场，30名考生竟无一人得满分。所以，我们在平时的数学教育教学中，既要教书，更要注重育人，使学生养成准确计算，审题严密，表达规范，思维和书写同步进行等良好的学习习惯，注意发展他们的优良的学习品质。

　　三 在课堂上教学中师生互动方面

　　作为一个教师，在教学中应当充分鼓励学生发现问题、提出问题、讨论问题、解决问题，通过质疑、解疑，让学生具备创新思维、创新个性、创新能力。

　　教师运用有深度的语言，创设情境，激励学生打破自己的思维定势，从独特的角度提出疑问，鼓励学生进行批判性质疑。批判性质疑是创新思维的集中体现，科学的发明与创造正是通过批判性质疑开始。让学生敢于对教材上的内容质疑，敢于对教师的讲解质疑，特别是同学的观点，由于商榷余地较大，更要敢于质疑。只有能够打破常规，进行批判性质疑，并且勇于实践、验证，才能寻求解决的途径，达到具有创新意识的学生必备的素质。

　　总之,无论是教师还是学生,要能牢固掌握数学思想和方法,课堂上教师的概括、分析是十分重要的。同时,教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，只有这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。