新课改下如何培养学生的数学推理能力

新课改下如何培养学生的数学推理能力

大荔县城关镇东七初中    安兴来

   内容提要：学生通过初中阶段的数学学习，“经历、观察、实验、猜想、证明数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。

   关键词：推理；合情推理；演绎推理。

    《新课程标准》指出：学生通过初中阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。什么叫推理？“由一个或几个已知的判断推出另一个未知判断的思维形式，叫推理。”演绎推理是必然性推理，三段论是演绎推理的一种重要形式。合情推理是由已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理，合情推理的三种重要形式有归纳推理、类比推理和统计推理。

       长期以来，数学教学注重发展学生的演绎推理能力，忽视了合情推理能力的培养。而往往一些数学结论的发现都是通过对事物的观察、比较、归纳、类比……即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误。因此，数学需要演绎推理，更需要合情推理。

      《标准》对推理能力的表现做了如下的阐述：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例。”也就是说，学生获得的数学结论应经历合情推理——演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现”，因而关注合情推理能力的培养，有助于发展学生的创新精神，发现的猜想正确与否，再通过演绎推理给出证明或举出反例。

     新课改下，如何培养学生的数学推理能力呢？

一、把推理能力培养有机地融合在数学教学的各个过程中。

数学教学过程中必须给学生提供探索交流的空间与时间，组织引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动。”把推理能力的培养有机地融合在数学教学活动的各个过程中。

如：在探索一元二次方程的根与系数关系中可设置如下问题。

①填写下列表格

②猜想：关于X的一元二次方程aX2+bX＋c=0(a≠0,b2-4ac≥0)X1，X2是其两个实根。X1＋X2=         X1·X2=       

③你能证明得到的结论吗？

解：①解方程4X2－3X-1=0得X1=－0.25    X2=1

∴X1＋X2= 0.75          X1·X2=－0.25

解方程3X2－5X-2=0得X1=－（1/3）    X2=2

∴X1＋X2= 5/3          X1·X2=－（2/3）

（以上解方程与计算过程突出了培养学生演绎推理能力）

①猜想：

   关于X的一元二次方程aX2+bX＋c=0(a≠0,b2-4ac≥0)

X1，X2是其两个根。

结论：X1＋X2= －（b/a）   X1·X2=  c/a   

（上面的过程通过观察、归纳、类比而得出猜想培养了学生合情推理能力）

③证明：对于一元二次方程aX2+bX＋c=0(a≠0,b2-4ac≥0)

X1，X2是其两个根。

∵X1 =(－b+√b2-4ac )／2a

X2=(－b-√b2-4ac )／2a

∴X1＋X2=［(－b+√b2-4ac )／2a］+［(－b-√b2-4ac )／2a］=-(b/a)

X2·X2=［(－b+√b2-4ac )／2a］×［(－b-√b2-4ac )／2a］=(c/a)

（以上证明过程主要培养了学生演绎推理能力）

      总之，其解答过程有计算、观察、归纳、猜想、证明等过程，既培养了学生合情推理能力，也培养了学生演绎推理的能力。

二、把推理能力的培养落实到数学课程中的各个领域。

      “数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”各领域的课程内容都为发展学生的推理能力提供了丰富的素材。在“数与代数”的教学中，计算要依据一些公式、法则、运算吕等，因而计算中有推理；现实生活中数量关系有起自身的规律，用代数式、方程、不等式、函数刻画此种数量关系的过程中，不乏分析，判断和推理。

如：比较|-3|与（√2+1）的大小的过程，实际就是培养学生演绎推理能力的过程。

又如：观察：12+21=33

                        23+32=55

                        34+43=77

①你发现了什么结论？请写出你的观点。

②你能证明你得到的结论吗？

解：①一个两位数将个位数字与十位数字对调后，得到新数与原数的和，一定能被11整除。

验证：51+15=66=6×11

(以上过程通过观察归纳得出猜想，培养了学生合情推理能力。)

②证明：设这个两位数为（10x+y），则新数为(10y+x)。

（10x+y）+(10y+x)

=10x+y+10y+x

=11 x+11 y

=11（x +y）

（猜想得到证实，此过程主要培养了学生演绎推理能力。）

其解答过程是一个经历观察、猜想、归纳、证明的过程。既培养了学生合情推理能力，也培养了学生的演绎推理的能力。

       在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理，又要重视合情推理。

如：下列是同一棵小树在不同时刻的影子，请将它们按时间的先后顺序进行排列。

A                   B                  C                     D

又例如：下图是一个立方体所搭成的几何体的俯视图。小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，你能画出其主视图吗？

                                  2    1

                            1    2

以上两个例子培养了学生的合情推理能力。

例如：计算sin230°+cos230°= ?

sin245°+cos245°= ?

sin260°+cos260°= ?

①∠a为锐角，猜想：sin2a+cos2a= ?

②你能证明猜想的结论？

解：①sin230°+cos230°= (1/2)2+(√3/2)2=1

sin245°+cos245°= (√2/2)2+(√2/2)2=1

sin260°+cos260°= (√3/2)2+(1/2)2=1

猜想：∠a为锐角，猜想：sin2a+cos2a= 1

（①的解答过程中，有计算、观察、归纳、类比……得出猜想，既培养了学生的演绎推理能力，又培养了学生合情推理能力。）

②作Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=∠a，

∵sin a=a/c      cosa=b/c       a2+b2=c2

∴sin2a+cos2a=( a/c)2+( b/c)2=1  B

                                         a

                                                              C                         A

      “统计与概率”中的推理叫统计推理，是一种可能性的推理，与其它推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法验证，只有靠实践来验证。因此“统计与概率”的教学，应重视学生经历收集、整理、分析数据、得出结论的全过程。

       例如：要了解一个地区，每天收看早8点央视的新闻联播的人数。

      应先随机抽查一部分市民作为样本，了解其收看节目的数据，用此来估计本地区收看早新闻的情况。

        例如：注射青霉素时，会出现过敏，出现过敏的概率为1‰，一小学生，因病需要注射青霉素，然而他认为过敏的可能性太小，因此不想皮试。对吗？

    此二例子也培养了学生的合情推理能力。

三、通过学生熟悉的生活，发展学生的推理能力。

    除学校教育外，在生活中，有很多活动也能有效的发展学生推理能力。要进一步拓宽发展学生推理能力的渠道，使其养成善于观察，勤于思考的习惯。

    如：小红去小丽家，按了很长时间门铃，却无人应答，因此，小红认为此时小丽家没有人在家。

   又例如：有一个平均水深1.6米的水池，小亮身高1.7米，但水性不好，他在此水池中游泳有危险吗？

   这也可以培养学生的合情推理的能力。

四、培养学生的推理能力，要注意层次性和差异性。

    推理能力的培养，必须充分考虑学生的身心特征与认知水平，注意其层次性。

1、一般来说合情推理贯穿于初中数学活动的始终。

2、初中数学教学中，在培养学生的演绎推理能力时应更好的体现层次性。

3、培养学生的演绎推理能力时，还要关注学生的差异。

使每一个学生都能体会到证明的必要性，从而使学生学习演绎推理成为学生的自觉要求。

参考文献：

（1）《数学课程标准》.北京：北京师范大学出版社。

（2）《辞海》1999年版。