融数学美于数学教学之中

我国著名数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一，应当使学生获得对数学的审美能力，即能使学生增进对数学美的主观感受能力，学生的学习应该是主动的、富有美感的智力活动，学习材料的生趣和美学的价值乃是学习的最佳刺激，强烈的心智活动所带来的美的愉悦和享受是推动学习的最好动力。”
　　数学美的含义是丰富的。数学概念的简洁性、统一性，数学命题的概括性、典型性，几何图形的对称性、和谐性，数学结构的完整性、协调性以及数学创造中的新颖性、奇异性等都是数学美的具体内容和形式。
　　一、体现对称美，增强数学魅力
　　对称性是最能给人以美感的一种形式。德国数学家魏尔说：“美和对称性紧密相关。”数学中有着各种各样的对称。从几何图形看，有中心对称形、轴对称形、面对对称形和转动对称形等。奇妙的是，对称图形虽千变万化，式样繁多，但它在平面上的种类仅十七种。在空间，若把精巧、优美的晶体结构抽象地当作几何形体规则加以研究，则可用32个点群描绘出其宏观对称性，可用230个空间群描绘出其微观对称性。就代数形式论，有对称多项式、对称方程式、对称恒等式、对称不等式和对称矩阵等。这些对称形式都是凭借理性可以感受到的令人愉悦的形式，当然其中也不乏具有感性美所特有的生动可感的具体感性形式。例如，行列式就被人们称为“美丽的花园”，它的每一边都可以扩展。一个三阶行列式是由九个元素按三行三列所排列成的正方形，即使不懂数学的人也能感受到其排列整齐和处处对称，领略到它的形式之美。
　　在数学教学中，不断地揭示对称美的因素，能使学生常受到美的熏陶，自觉地运用“对称”这一数学美的形式特征去解决具体问题，提高分析问题的能力并进一步理解数学美的真正含义。
　　二、揭示统一美，知识融会贯通
　　所谓统一，一般是指数学理论的部分与部分、部分与整体间的协调统一、和谐统一。
　　如所知，公元前五世纪前后的古典希腊对于几何的研究已汇聚了异常丰富的材料，亟待整理，使之纳入一个严密的逻辑体系之中。欧几里得巧妙地运用演绎逻辑，将纷繁杂乱的几何素材统一起来，为几何理论织造出精美绝伦的锦缎（由公理、公设严格而必然地推演出有关定理）。他的《几何原本》是世界公认的第一个科学美学范本。德国数学家希尔伯特进一步弥补了《几何原本》中的一些不足，为欧氏几何提供了一个完善的公理体系，将具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。这种数学理论的高度抽象性与美学中的统一性原则甚相一致。希尔伯特的《几何基础》一书被誉为划时代的巨著，充分体现了部分与整体的完美统一。
　　数与形是两个不同的概念，从形式上看，它们各有自己确定的含义，但他们之间也存在着本质的联系。法国数学家笛卡尔的解析几何的创立，使得数形之间联系密切，代数几何化为一体。借助于对应关系，它们之间可以自然地转化，显示了数与形之间的一种统一美。“不变性”原则是统一性思想在数学研究中的深刻体现。德国数学家克莱因用变换群的观点把几何学统一了起来，把欧氏几何、仿射几何以及非欧的罗氏几何与黎氏几何都有代表着它们的特征常数（高斯曲率）k存在。当k=0时为欧氏几何，当k<0时为罗氏几何，当k>0时为黎氏几何，并且一个常数对应一种几何。于是，就在全体实数和三种几何学的全体以及一直线上点的全体之间，建立起连续的一一对应关系。像这样表面上看似乎无关的三种事物的集合，其内部却存在着如此密切的联系，这难道不是一种统一美吗？这三种几何相辅相成，构成了一个和谐系统，任少一个，系统的完美性即遭破坏。特别是从古到今与我们最接近最常用的欧氏几何仅占据了直线上一点的位置，岂不令人震惊。正如伟大的物理学家爱因斯坦说：“从看来同直接可见的真理炯异的各种复杂现象中，认识到它的统一性，会使人产生一种壮丽的感觉。”
　　三、追求简洁美，显现数学本质
　　数学美的简洁性泛指数学理论提醒在逻辑上的简单性和结构上的协调性。简洁性对数学理论的建立提出了高要求，即在对自然现象进行描述和抽象时，要求理论的假设性前提尽量地少，而得到的演绎结论却尽量地多。正是这种简洁美的思想指导，数学家都尽力使自己的理论具有特殊的演绎美的诱惑力。例如，全部欧氏几何的结构，只是从少数几条公理通过演绎而得来的，这是一种典型的简洁美的体现。难怪牛顿赞叹：“几何学之所以堪称辉煌，就在于它是从很少的几条公理出发，而最终却得到了如此之多的结果。”希尔伯特曾把公理化方法推向完善化、形式化阶段，对于公理系统的相容性、独立性、完备性的要求与简洁性密切相关。
      英国数学家阿蒂亚指出：“数学中的统一性和简洁性的考虑，都是极为重要的。因为研究数学的目的之一，就是尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界。”如所知，只有大学毕业的专门高级人才才能进行百万数目的除法，这种不和谐的状况源于罗马数字的繁杂。一旦引进了阿拉伯数字，连小学生都能够轻松自如地计算百万数和十亿数的除法。信息内容的容量依旧，但简洁而完善的符号标记使信息处理得既快又简。可以设想，如果能找到材料的组织和符号的合适形式的话，那么在21世纪就完全可能把目前只有少数专家才懂得的现代数学中最复杂的部分列入中学的教学大纲。到那时，复杂的概念和相互关系将以简洁而通俗的公式写出。由此可见，清晰简明的数学词汇即能使人们掌握材料提升为理论。简洁的叙述方式是进一步前进的必要前提，是推动数学发展的一个主要手段，也是衡量数学和谐美的一个重要标准。
      近些年来，我在担任一些数学基础较差的班级的教学工作时，注意在教学中渗透数学美，激励学生的学习兴趣，提高学习成绩，已初见端倪。纵横观之，我认为数学美与学习兴趣以及学习成绩提高可形成这样的良性循环：由“数学美”引发“学习兴趣”进而达到“学习成绩的提高”从而产生“乐趣”更会欣赏“数学美”。
      在这一个良性循环过程中，数学美逐渐积淀在学生的认知心理结构和审美心理结构之中，成为一种相对固定的“内结构”。一旦有了这个“内结构”，在追求形形色色的数学问题（权且称之为一种“外结构”吧）“简、美、真”时就有了良好的基础。作为“内结构”的数学美感知能力与作为“外结构”的众多数学问题发生异质同构的共振效应，必然会促进学生创造思维的发展。
      当然，这方面的工作还有待进一步探索、深化和提高，使之日臻完善，也使得我们在认识和运用数学美的过程中，不断从必然王国走向自由王国，从而使数学教学质量能上一个新的台阶。