学习数学的“捷径” ——培养学生数学能力的基本途径 |
| 所属栏目: 数学论文 更新时间:2015-01-10 点击次数:
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0w.net 摘要 讨论针对培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象力的途径，来提高学生分析问题和解决问题的能力。关键词 培养 数学基本能力 途径
引言 传授知识和培养能力应该并重，不可偏废，同时，在教学应该使两者有机结合，互相促进。在数学教学中，应该培养学生在教学活动中的能力和运用数学知识，来解决数学问题的能力，总称为数学能力，显然数学能力是一般能力（观察力、记忆力、想象力、思维力、注意力）在教学活动领域中的具体体现，表现的基本形式是运算能力、逻辑思维力和空间想象力，在数学教学中也必须通过数学实践活动，才能形成、发展学生的数学能力。所以，中学数学教学大纲明确提出培养三种数学能力作为教学的主要任务之一。 1、培养学生的运算能力的基本途径 数学运算通常是指数值的计算和数式的变换：运算的种类有代数运算、几何运算、分析运算和逻辑运算等多方面，对于初中学习阶段数学运算的具体内容包括数的计算、式的恒等变形、方程和不等式的变形、几种初等函数的运算和求值、几何量的测量和计算、初等几何变换以及统计的初等计算，这些是学习数学的基础，也是学习其他学科和解决实际问题不可缺少的条件，为了培养学生正确迅速的运算能力，可以采用以下几面的途径： 1.1 加强基础知识和基本技能的教学 数学的理论是数学运算的基础，只有正确理解有关数学概念，切实掌握有关数学定理、法则、公式、定义、性质等等才能为运算指明方向、开拓思路、提供依据，才有可能取得正确迅速的运算结果，因此加强双基教学是提高学生运算能力的根本途径。 例1：1、已知 |a-1| + |2-b| =0 则a-5b=
解：∵|a-1| + |2-b| =0 则a-1=0 且2-b=0
∴a=1 b=2 ∴a-5b=1-2×5=－9 如果不清楚、不理解，绝对值概念，学生将束手无策。再比如要使学生掌握二次根式的运算，首先要他们理解二次根式的概念，还要掌握有关算术平方根的各种公式，如果不能理解二次根式的意义和上述公式的适用范围，则会造成类似下面的错误 例2： （x-5）2-|（1-x）|=2x-6而不能正确进行下列运算 （5-x）2-|（1-x）|=4 （x≤1）
（5-x）2-|（x-1）|=6-2x（1＜x＜5)
（x-5）2-|（x-1）|=-4（x≥5） 由此可见，使学生学好有关基础知识是培养学生运算能力的根本。另外要培养运算能力，必须加强基本技能的训练。1.加强口算与速算的训练。2.熟记一些常用数据，熟记一些常用数据，可以提高运算的速度和准确性，如1——20的平方数，1——10的立方数，简单的勾股数，特殊的三角函数值。3.养成验算的习惯。4.讲究训练的层次，训练层次应由简到繁、从易到难，循序渐进。5.定期开展运算性的竞赛。 1.2 重视运算的灵活性 首先，要重视一题多解，训练学生多角度、多方位观察思考问题的习惯。 例3:∆ABC中，∠B=∠C,BD=CE, 求证∠1=∠2. 方法一 ∵∠B=∠C ∴AB=AC 又∵BD=CE ∴∆ABD≌∆ACE AD=AE ∴ ∠1=∠2 方法二 ∆ABD≌∆ACE ∠ADB=∠AEC ∠1=∠2 方法三 ∠B=∠C AB=AC， BE=CD ∴ ∆ABE≌∆ACD ∴ ∠1=∠2 另外，方法一在顺向思维受阻时，头绪繁琐的情况下，可向逆向思维转换，往往使运算简捷。
总之，这里运算练习是提高学生运算能力的有效途径，这就需要教师有计划、有目的地训练学生提高运算能力，精心设计题目，适当多练。
2.逻辑思维能力的培养途径
逻辑思维能力是指正确地运用逻辑思维形式、规律和方法进行思考的能力。
九年义务教育初中数学教学大纲中指出：“初中数学教学中发展学生的逻辑思维能力主要是逐步培养学生：会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会准确地阐述自己的思想和观点，形成良好的思维品质。”
从中学生的心理特点来看，整个中学阶段，学生的思维能力处于急速发展时期，初一学生的思维，以形象思维为主，初二、初三学生的思维，倾向于经验型逻辑思维。而高中生的思维则由经验型转化为理论性。因此，在初中阶段培养学生的思维能力，促使他们的思维由形象思维发展为逻辑思维，并由经验型逻辑思维顺利地转化为理论型思维，具有特别重要的意义。
培养逻辑思维能力的基本要求包括两个互相联系的方面：形式思维、辨证思维。培养学生的逻辑思维能力的基本途径有：
2.1结合基础知识教学培养逻辑思维能力
知识和能力总是相辅相成的，在向学生传授数学知识的过程中，可以培养逻辑思维能力，逻辑思维是理性认识，培养逻辑思维能力，首先要使学生感受鲜明的感觉、知觉和表象，形成具体、生动、形象的感性认识，然后通过分析和综合、抽象和概括等思维活动，对感性材料进行加工、整理和改造、制作形成概念。
例如角的概念的引入，课本上先举实例：“钟表上的时针与分针，两脚规张开的两脚，它们都给我们以角的形象”，再分析综合：“它们都是由两条射线组成的，而且两条射线有公共端点”最后抽象概括：“这种由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角”这种形成概念的过程是从感性到理性的过程，在感性阶段就是学生对“角”有所意会，使之对角有朦胧感知，再给学生言传，使之明确领会，学生对逻辑思维的方法从朦胧感知开始，经过一段时间的意会，可以明确地告诉学生概念、判断、推理等各种思维形式的特点，结构及其思维规律，最后教师要以身作则，给学生以示范、榜样，并及时纠正学生所犯的逻辑性错误。在培养辨证逻辑思维的能力，也可以贯穿在上述意会、言传、身教等几方面。√
2.2加强思维基本功训练，培养逻辑思维能力
在游泳中学会游泳，这是培养能力的形象化说法，即培养逻辑思维能力，也要让学生在思维中学会思维，必须有目的、有计划地训练学生逻辑思维的基本功，它包括：
2.2.1概念要明确。 概念是构成判断、推理的要素，是最基本的思维形式，教师引导学生把抽象的概念具体化，用具体化、形象化的东西来帮助理解概念，教师还可以适当地列举一些反例，让学生在辩证、比较的过程中，澄清错误的含糊认识，加深对概念的正确理解，最后教师应要求学生用准确的语言表述数学概念。 例如：绝对值的概念，如何理解|x|
从代数意义上讲一个数的绝对值总是非负的，这里|x|中的“x”也可以表示一个式子。
从几何意义上讲，|x|表示在数轴上数x所对应的点到原点的距离。
2.2.2做正确判断的思维训练
判断是对某种事物进行肯定或否定的思维形式。概念与概念之间以一定的方式联结起来就构成判断，在数学教学中培养学生做出正确判断的能力，主要是培养学生正确地掌握定义、公理、定理、性质和法则并能正确运用的能力。
2.2.3做关于推理论证的思维训练
中学数学内容是通过逻辑论证来叙述的，数学中的运算、证明、作图都蕴含着逻辑推理过程，因此，在传授数学知识过程中，教师要严格遵守逻辑规律，正确运用推理方法，潜移默化的培养学生逻辑思维能力 2.3在知识的形成与运用中，逐步培养归纳，演绎和类比的推理能力。 归纳是一种由一系列具体的事实概括出一般原理的推理方法，演绎是由一般原理推出关于特殊情况下的结论的一种推理方法，归纳和演绎是相对的两种推理方法,教师应不失时机地培养学生的归纳、演绎的推理能力。例如：通过有理数加法法则、有理数乘法法则、圆周角定理和弦切角定理的教学，渗透归纳的方法，将分式与分数进行类比，得出分式的概念、基本性质、约分、通分、运算法则等。
2.4要引导学生总结解题规律，积累解题经验
数学中有很多解题方法和技巧隐含于课本例题解法中，教师要善于启发引导学生去发掘它、去提炼它。例如：等比定理的证明，可以提炼出比值法，求分式的定义域，隐含着相对法、勾股定理的证明，课本中用的是面积割补法等。
例4：初二数学课本中有一例题
已知△ABC，AB⊥AC，AD⊥BC 求证：△ABC∽△DBA∽△DAC
证明：略 另外, 通过这题我们可以挖掘出相关的乘积式
如AB2=BD•BC， AD2=BD•CD， AC2=CD•BC, AB•AC=BC•AD
2.5通过反例剖析，纠正逻辑性错误 给学生进行逻辑思维训练，可以树立正面榜样，再通过反例的剖析纠正逻辑性错误，可以加深学生逻辑思维的理解。教师可以及时指出并纠正学生在答题求中暴露出来的逻辑错误。教师也可以剖析典型性的逻辑错例。可在课堂讲解剖析，或通过数学板报、数学园地，让学生辨别正误、吸取教训，以免覆辙。
2.6在培养学生逻辑思维能力的同时，也要重视直觉思维的培养。 就总体而论，初中数学只是具有一定科学形态的体系还不是严格的科学体系，有些内容是凭直觉承认它成立的，而不是经过严格证明的，如同底数幂的乘法性质 是通过不完全归纳法得出来的，单项式乘法法则是从个别例子概括抽象得出的，因此，在教学中要鼓励学生大胆发言，大胆猜想，逐步培养直觉思维的品质。
3.培养空间想象力的培养途径
根据学生的接受能力和初中数学教学内容的特点，九年义务教育初中数学教学大胆提出“发展空间想象力”，什么是空间想象力呢？空间想象力是指在头脑中能对研究对象的空间图形（包括平面图形）建立起正确的表象。具体要求是：能够由形状简单的实物想象出几何图形；由几何图形想象出实物的形状；由较复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；在基本的图形中找出基本元素及其关系；能够根据条件作出或画出图形。怎样培养学生的空间想象力呢？
3.1借助实物模型进行直观教学 借助实物、模型等直观教具进行教学，是培养学生空间想象力的重要手段。
例如：新教材初中数学七年级上的第一章《丰富的图形世界》这章的主要内容就是研究我们生活中熟悉的图形，包括图形的形状、图形的展开与折叠、对图形的切截，从不同方向看图形等，在平面图形与几何体的相互转换中逐步发展空间想象力。这样在数学教学中，教师应引导学生对实物、模型进行观察、比较、想象，由实物抽象出空间图形，把实在的物体与示意图联系起来，使空间形式在学生头脑中具体化、形象化。
3.2重视识图与画图的教学 模型是初步形成概念的辅助工具，但过分依赖模型又将妨碍空间想象力的进一步发展，重视识图与画图实现由有“型”到无“型”过渡的有效手段. 例如初中数学新教材七年级上从不同方向看，教师可先摆出模型，引导学生从正面、左面及上面观察物体后再画出图形，给出主视图，引导学生摆出模型，反复训练几次后，再训练学生，由主视图画俯视图及左视图等，另外还要让学生根据文字的叙述自己画出图形来。所以加强识图与画图的训练，能最简捷最直观地表达出空间形式。
3.3通过数形结合培养空间想象力
数形结合是直观与抽象、感知与思维的结合在教学中加强数形结合的训练，可以沟通几何与代数之间的联系，有效地培养空间想象力。
例5：若一次函次y=kx+b的图象经过点A（m，1）和点B（-1，m）其中m是大于1的常数，则必有（ ）， A 、k＞0 b＞0， B、 k＜0 b＞0， C 、k＞0 b＜0， D、 k＜0 b＜0
此题如果用纯代数方法解学生会感到无从下手，但若利用数形结合，由数思形，依题画出草图，应选B
3.4强化基本图形的作用
任何一个复杂图形，都是由两个或两个以上的基本图形运用重叠、翻折、旋转、平移等方法进行的有机组合，教学中引导学生善于从复杂的图形中发现基本图形或向基本图形转化，通过对图形的合分训练，培养空间想象力。
最后，空间想象力的培养不是一朝一夕之事，也不能只靠几何课的教学来实现，培养空间想象力应贯穿于数学各个分科教学中。
总之，上述三种能力的培养是不可分割，应该在教学过程中，把三种能力的培养有机的结合起来，互相促进，我们知道各部分中学数学内容，一般都同时包含有运算、推理和作图，因此在传授各部分数学知识时，都应考虑到培养各种能力的因素，同时要考虑培养能力的重点和相互配合的问题，在训练中应有计划地组织培养各种能力。还要指出，在培养学生上述三种数学基本能力的同时，进一步培养学生创造思维能力，独立获取知识能力、发展智力，也是现代教学的主要任务，因此，必须进行教学改革试验，逐步积累有关培养学生数学能力、发展智力的经验。才能适应现代社会对数学教学的要求。 来
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