数学思想方法——数学教学的归宿

数学思想方法——数学教学的归宿

——《能被3整除的数的特征》教学片断“前天”、“昨天”和“今天”

                                            浙江省奉化市锦屏中心小学  许冬儿

                                              邮编 315500 电话 057466775950

缘起：

笔者第一次任教五年级学科，深知自己的教学经验不足，因此在备每一节新课之前，都和同事们进行了交流和讨论，在对教材足够理解和对学生情况充分预计的情况下才撰写教学预案。在准备《能被3整除的数的特征》一课时也不例外，尤其对“要不要让学生明白能被3整除的数的特征与余数有关”的道理更是发生了争论。许多老师都认为只要让学生经历科学的探究过程，能自主发现能被3整除的数的特征，能正确地判断能被3整除的数就可以了，而我总觉得课只上到这一个层面似乎还不够，应该把正确的思想方法引领到位。但老师们又说学生不可能发现与余数有关的道理，你讲给他们听也未必能听得懂，与其硬塞还不如不研究。听来似乎也有理，最终达成共识：不研究此问题。

怀揣着预设的教案我走进了课堂，认真而投入地与学生开始了这节课的探究活动，学生的表现非常不错，对能被3整除的数的特征进行了大胆地猜想，又对各自的结论进行了充分地验证，不同意见同学之间还展开了激烈的辩驳，最后得出正确的结论。我作为本节课的“设计师”看着学生积极主动的样子，在一边感到无比欣慰，心里不由感叹：新课程理念引领下的课堂真是一番“繁荣”的景象，并暗自庆幸自己的预案设计得不错。可正当学生得出正确的结论，正当我沉浸在喜悦之中的时候，突然一个学生一脸迷惑地站起来说：“老师，我不明白，为什么各个数位上的数字的和能被3整除，这个数就能被3整除了呢？”心头一阵羞愧油然而生，学生真正需要的是什么，作为教师，我们却没有进行充分地考虑。我忽然意识到，我们的教学有时可能只是让学生知其然，而没有让学生知其所以然，这可是研究学问最宝贵的精神——“不仅要知其然，更要知其所以然”，没有真正引领学生受到数学思想和方法的深刻熏陶。幸亏我们在课前讨论过这个问题，我还能急中生智，没有耽误学生的需要。如果从不曾考虑这样的问题，那么本节课不知将会留下多大的遗憾！

课后，我带着思考回到了办公室，一股“研究”的冲动涌上心头。我想知道：“就这节课，课改之前和之后教师对教学目标有着怎样的不同理解？对数学思想和方法又是如何渗透的？到底什么才是学生真正受益的东西？”带着疑问和思考我翻阅了多本不同时期的刊物，对这节课总结出了大致三“代”不同的设计和处理。

情景回放：

“前天”：

师：上节课我们学了能被2、5整除的数的特征，主要是看这个数的个位数来加以判断，这节课我们来研究能被3整除的数的特征。首先我们来做个游戏，同学们任意报一个数，老师能很快猜出它是否能被3整除。

（学生报数，教师把能被3整除与不能被3整除的数分类写在黑板上。学生积极性很高）

师：这两边的数，一边能被3整除，一边不能被3整除，这其中是什么道理呢？请同学们把这些数各位上的数字加起来。

（学生进行运算）

师：现在你们有什么发现吗？

（学生通过讨论、交流，在教师的启发下发现一边的和都能被3整除，一边的和不能被3整除。由此得出能被3整除的数的特征）

反思：这个设计教师的着眼点是在“能被3整除的数的特征”的发现上，开始通过教师猜数调动和激发学生的好奇心，并得到能被3整除和不能被3整除两组数。接着就直接让学生把这些数各位上的数字加起来，再来观察从而发现其中的规律。这样的设计只关注了知识层面，没有深入到方法层面，学生通过这个内容的学习，理解和掌握的也只是知道能被3整除的数的特征。这个规律当然也是数学教学的组成部分，但不是核心，是知识的边缘、外围或表面。如果我们的教学只是达到这样的境界，学生没有受到数学思想方法的训练和熏陶，也就不可能产生探索数学的行为，这样的教学只是一种复制式的或记忆式的活动。从短期看，知识掌握的效率比较高，但从长远看，学生学不会自我扩展，反而降低了学习效率。

“昨天”：

师：能被2、5整除的数的特征只要看个位，能被3整除的数是不是与判断能被2、5整除的数一样，也只看这个数的“个位”呢？

生1：看个位也可以，例如63、36、99它们的个位分别师3、6、9，这些数都能被3整除。

生2：（举手反对）不能只看个位。例如13、16、19，它们的个位虽然也是3、6、9，但这些数都不能被3整除

生2：（接着补充）有的数，例如21、45，它们的个位不是3、6、9，可这些数都能被3整除。

师：看来判断一个两位数是否能被3整除，不能只看“个位”，那要看什么呢？

师：下面请同学们来看一组个位上是4的两位数——14、24、34、44、54、64、74、84、94，请同学们判断哪些数能被3整除。

生：通过计算分成两类。

师：通过计算我们得到24、54、84这三个数能被3整除，现在请你们把这三个数的个位与十位交换一下位置看看能否被3整除。

（学生交换位置，进行计算，发现42、45、48这三个数也能被3整除）

师：这说明一个数能否被3整除，跟这个数的每一个数字所在的位置有没有关系？

生：没有关系。

……

师：既然是跟每一个数字的大小都有关系，那么我们就来做一个实验，把这两组数（指能被3整除的和不能被3整除的）每一位上的数分别加起来，观察他们的和有没有什么特点？

反思：这个设计已经开始注重了知识规律的探索，试图在传授知识的同时，引导学生经历知识探究的过程，学习一种方法、感受一种思想。从最初的类比：能被2、5整除的数是只要看个位上的数即可，那么能被3整除的数看个位行吗？学生通过对一些具体的例子的分析和研究，发现只看个位是不行的；接着又通过一组判断、分类、变化活动，认识到能被3整除的数的特征与一个数中每个数字所在的位置也没有关系，只跟它们的大小有关；最后再通过指令性的把每一位上的数字加起来进行比较和分析，由此得出规律。但综观这个过程，学生的探究还是被牵引着，看似在启发学生的思维，经历数学规律的生成过程，实质上还是教师在灌输，引导问答的过程只是看教师灌输的信息和要求收到了没有，还没有一种主动自主探索的过程，数学思想方法不可能得以有效地生成和发展。

“今天”：

（一）探索“特征”

1、猜想

师：联系我们以前是怎样研究这类问题的，大胆猜一猜，什么样的数能被3整除？

生1：个位上是3、6、9的数都能被3整除。

生2：我认为个位是0～9的数都能被3整除。

生3：我猜是比3多3、6、9……的数都能被3整除。（“……”表示这些数一个比一个多3）

生4：我猜想一个数各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。（其实他是从书上看来的）

师：不错！同学们敢于猜想，不过猜想是否正确还需要进行验证。

2、验证

（1）分组活动

同学们一方面验证自己支持的猜想是否正确，另一方面验证其他猜想对不对。

（2）组际辩驳

3、结论

（二）“特征”的合理解释

师：刚才通过研究我们得到了这个结论。虽然没有找到反例，但我们还要进行深入地思考，找到它能够成立的依据。为什么一个数各个数位上的数字的和能被3整除，这个数就能被3整除了？以12为例，借助小棒或其他方法，对此现象做出一个合理的解释。（学生小组讨论）

……

反思：美国数学家哈尔莫斯曾经说过：“数学究竟是什么组成的？是概念？是公理？定理？定义？公式？证明？诚然，没有这些组成部分，数学就不存在了，这些都是数学的组成部分。但是，它们中的任何一个都不是数学的核心所在。数学的核心应该是越过这些表面知识的内在问题、思想和方法，并且问题是数学的心脏，思想是数学的灵魂，方法是数学的行为。”这个设计和前两个相比，更着眼于学生的发展。不仅让学生通过猜想、验证、得出结论，充分经历了科学的探究过程，更让学生对结论所能成立的依据进行了进一步地探究；不仅培养了学生的批判性思维，更让学生受到科学的数学思想和方法的启迪：研究学问，不仅要知其然，更要知其所以然。为学生的终身学习打下坚实的基础。

结论：

日本著名教育家米山国藏曾经说过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有学生铭记在头脑中的是数学精神、数学思想、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。” 不知老师们有没有听说过这样一则特具讽刺意味的“风景”：以高分数考上名牌大学的高考宠儿们，当他们大学毕业时，再让他们回过头做一做曾经手到擒来的高考数学试题时，留在他们脸上的却是一片茫然。十年寒窗磨练出来的坚不可摧的数学知识基础，对于我们绝大多数学生一生来说，换来的只是一种“茫然”，只是一种过去。这样的说法虽然有点偏激，但也足以让我们数学教师感慨万千，甚至有些痛心！纵观上述三个典型的教学片断，似乎在一定程度上象征着教师教学观念的“前天”、“昨天”和“今天”。反思我们一路走来的教学历程，不得不承认传统教学对学生数学思想发展的束缚与淡化，学生的学习在很大程度上只是一种被动地接受。值得欣慰的是我们今天的教师教学观念已经发生了明显的转变，让我们看到了像片断三那样既重视学生知识的理解和掌握，更关注数学思想方法的渗透和培养的教学设计。

总之，数学思想的培养应是我们数学教学的终极目标，只有用数学思想武装起来的知识，在学生解决问题时才更具有远见和洞察力；只有把人类积累的思想财富运用于课堂教学的始终，才能使我们的教学朝气蓬勃、充满生机，才能叩开学生思维的大门，培养他们的创造能力。如果说教学是一门艺术，那么在教学中渗透思想方法更是艺术中的艺术。让我们携起手来，为生命的“艺术”不懈努力吧！