浅谈“化归”思想方法在小学数学教学中的渗透

　　庐江县城南小学    徐道国

　　内容摘要：数学的精髓不在于知识本身， 而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法； 数学教学的目的不在于学生掌握多少数学知识， 而在于掌握和运用数学思想方法来解决实际问题的能力。因此， 数学教学的重点应放在加强数学思想方法上的教育上。这要求数学教师充分挖掘教材中的数学思想方法， 采取各种途径对学生进行数学思想方法的渗透， 并在解题过程中指导学生运用数学思想方法。数学思想方法是联系知识和能力的纽带，是数学科学的灵魂。为了提高教学质量，使学生更好地理解数学知识、获取解决问题的有效策略，我们必须重视数学思想方法的教学。

　　关键词：“化归”  教学   渗透

　　笔者在平时的教学过程中很重视化归数学思想方法的渗透，现在我发现我的学生能很自然地使用它来灵活解决数学问题了。我在教学中深刻体会到化归方法是一种行之有效的思想方法，它有着较为广泛的用途，掌握了它，将使学生终身受益。以下是我的一些认识和心得：

　　一、 “化归”思想内涵的认识

　　“化归”思想，是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法，它是数学中最基本的思想方法之一。所谓化归思想就是根据主体已有的经验，通过观察、联想、类比等手段，把一个实际问题通过某种转化，归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题，直至化为已经解决或容易解决的问题。渗透化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题，从而求得原问题的解决，而化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。其基本形式有化难为易、化繁为简、化未知为已知等。它也是指数学家们把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，我们在教学中可逐步渗透这种思想方法，让学生逐步领悟直至到高年级能进行简单的应用。

　　二、“化归”思想在小学数学教学中的逐步渗透

　　1、体验“化归”

　　人们学习新知识之前往往会利用已有的知识去认识，从而形成新的经验，变成自己的知识，而这一过程其实就是一个“化归”的过程。小学伊始，虽然学生们年纪还小，但利用旧知识来解决新问题，在现实生活中肯定实践过，所以苏教版一年级课标教材中，就渗透了“化归”的思想来指导学生的学习。

　　例如，苏教版课标教材一年级上册，孩子们就相继开始学习“10以内的加减法”、“20以内的进位加法”，对于一年级孩子来说，通过对“1-20”各数的认识，特别是学习了1-10的组成之后，学生对“拆小数，凑大数”和“拆大数，凑小数”这种方法比较容易接受，这也是学习后来的“20以内的进位加法”重要基础之一。 20以内进位加法的口算方法不只一种，教材中呈现了多种计算方法，如“接着数”和“凑十法”等等，而“凑十法”则是其中最重要的方法，“凑十法”通过将大数拆成小数（或者小数拆凑成大数），和其它另一小数（大数）凑成十，使得20以内进位加法转化成一题简单的十加几计算题，从而使计算变得比较简便。例如计算9+7=？，先根据9和1能凑成十，再将小数7拆成1和6，最后算出10+6=16，从而得出9+7=16，这一口算过程将“20以内进位加法”计算题转化成10加几的计算题，从而更加轻松地解决问题。

　　通过对未知的“20以内进位加法”转化为“十加几计算题”，在这一过程中学生们初步感知了“化归”这一数学思想方法在小学数学学习中的运用。

　　2、探索“化归”

　　学生通过一定的学习，在感悟“化归”思想后，可以初步运用“化归”思想，特别在数学中有些概念的形成过程或数学的定义，就是渗透着“化归”的数学思想。当然这过程，需要学习进一步动手操作，在动脑的同时通过动手来初步运用“化归”思想。例如，求四边形的内角和时，学生在掌握了三角形内角和的计算之后，要计算四边形的内角和，通过动手添加辅助线，将四边形分割成两个三角形，将四边形的四个内角和转化成两个三角形的六个内角和，这样就把所求的四边形内角和的问题转化为计算三角形内角和的问题，四边形内角和=2个三角形内角和。

　　3、应用“化归”

　　分解和组合是实现化归的重要途径，学生在小学阶段学习了四年之后，已对化归思想形成一定的基础，但这却不能只停留于“学生的记忆里”，只有进一步的运用，才能内化为学生自己的东西，形成数学方法，而“化归”这一思想方法在小学数学后阶段学习过程中有着广泛的应用。例如在学习平行四边形的面积时，利用已经学习的长方形面积计算方法，将平行四边形的面积转化为长方形的面积；

　　三、“化归”思想几种典型基本形式的应用

　　1、化未知为已知。

　　在学习新知时，我总是先启发学生从自己已有的知识中设法去寻找与新知识的相似之处，将新问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。例如：数的大小比较学生从低年级起就学习了，随着对数的研究的不断深入，学生要进行两位数与三位数、万以内的数、多位数以及小数、百分数、分数的大小比较。刚开始学整数的大小比较时，我就让学生搞清：每个数位上的数字所表示的含义是不同的，因为计数单位不同。接着我再让他们理解整数的大小比较的基本方法：位数多的数比较大（计数单位大）；相同位数的数，先从高位比起（计数单位最大的数位上的数比起），依次比较，直到比出大小来。有了这些基础知识的铺垫，学生在学习“万以内数的大小比较”一课时，已能通过老师的启发、同学的讨论和自己的思考来解决例题了。

　　学习“小数的大小比较”一课时，学生能借助于自己的旧知解决整数部分的大小比较，小数部分的大小比较学生又有小数的意义为支点，理解了小数与整数大小比较的方法的相似性以及旧知识的铺垫，学生自然地将“小数的大小比较”化归为类似“整数的大小比较”问题，这一内容很快在学生的思考与讨论中解决了。小学数学教材中经常有类似的内容出现，找出新知识与旧知识的相似之处，找准知识的生长点，就能将未知的内容化归为我们熟悉的内容，学生在化归方法的渗透过程中也渐渐地学会了思考问题的方法。

　　2、化繁为简。

　　随着年级的升高，对数学知识的不断深入，在学习过程中学生们所遇到的问题也越来越复杂。而化归方法却可使比较复杂的形式、关系结构变为比较简单的形式和关系结构，这种方法的有效性在中、高年级时表现的更为突出。

　　在中年级时，学生就开始接触到一些平面图形的面积问题。学生在学习了长方形面积公式之后，通过剪、拼、割、补等方法相继得到了平行四边形、三角形以及梯形的面积公式，这时学生对化归方法已有了朦胧的认识。有了这样的学习经验的，接下去在高年级求组合图形面积或较复杂的图形面积时，学生自然地想到了通过分割或拼接的方式也将它们化归为已学过的图形，然后得到其面积的方法。再如计算：1＋2＋3＋……＋49+50＝？一般都采用凑整法，但在这里我们还应该教学生进行转化：再加上一个和原式相等、只是顺序相反的算式，并把这两个式子上下对齐：1＋2＋3＋……＋49+50＝？50＋49＋……＋3＋2＋1＝？这两个式子的和应是：（1＋50）╳50.原式正好是它的一半即：（1＋50）╳50÷2＝1275.这里就运用了化归思想，同时也渗透了对应思想。于是一些零散的、不牢固的数学理念， 在数学思想方法之下便统一起来形成系统化的理解。进一步促使学生逻辑数学思维能力的形成和发展。

　　3、化难为易。

　　高年级学生学过的数学知识逐渐丰富起来，在我的不断鼓励之下，学生们遇到问题总是喜欢做一做、想一想、议一议，然后在自己的独立思考过程之后大胆提出看法。随着化归思想方法的不断渗透，学生们认识到几乎所有的难题经过老师的启发或同学之间的讨论，看清其实质，总能化归为比较简单的问题来解决。这种思想方法也就在他们解题时经常被想到。

　　新《课程标准》要求教师鼓励学生独立思考，引导学生自主探究、合作交流。在实际教学中我正是这么做的。学生对数学的学习越深入，对于问题的理解和思考方法也越来越多样化。在课堂上，许多同学都争先恐后地发表自己的意见，还能对自己的观点进行合理地解释。例如：在学习了分数的大小比较之后，我出了一道题目是：1／10＜（  ）＜1／9，要求填写出合适的分数。我知道这是一道很有挑战性的习题，答案不是唯一的，学生们如果能灵活应用已有的知识就可以轻松得到答案。于是，我就将这道题交给学生，让他们自己想办法来解决。学生们刚开始面对它时紧锁眉头，接着他们或低头沉思，或埋头计算，或小声议论，经过了一段时间的思考、酝酿，他们都信心实足地举起了手。学生们根据自己对题意的理解将它化归为以下题目：①同分母分数的大小比较。18／180＜（19／180）＜20／180。②异分母分数的大小比较。2／20＜（2／19）＜2／18 ③两位小数的大小比较。0.1＜0.11（11／100）＜0.11……对于学生们获得的这些答案，我感到非常满意，不仅因为他们都按自己的思路大胆地去尝试获得了成功，而且他们都想到了利用化归的思想方法将难题转化为较简单的问题，然后合理利用旧知来灵活解决。说明几年潜移默化的教学已经深入人心，他们开始自觉地想到和应用它了，这正是我的教学目标之一。

　　数学思想方法是数学思维的基本方法。数学教学内容始终反映着数学基础知识和数学思想方法这两个方面，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。而在数学课上，由于能力、心理发展的限制，学生往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的线索，以及由此产生的解决问题的方法与策略。所以，我们在教学中应以具体数学知识为载体，重视数学思想方法的渗透，通过精心设计的学习情境与教学过程，引导学生领会蕴含在其中的数学思想方法，揭示它们的本质与内在联系。但由于数学思想只表现为一种意识，没有一种外在的固定形式，因此，我们必须坚持长期渗透，才能使学生在潜移默化中达到理解和掌握。而在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，教师应重视通过这些内容的教学，让学生初步学会化归的思想方法。