代数思维在小学计算教学中的渗透

　　从2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》第一次将“数与代数”作为小学数学学习的四个内容领域之一，到《义务教育数学课程标准(2011版)》对这种理念与要求的延续，无不体现了“数”与“代数”这两者的整体性与一贯性。然而，在现实的小学数学教学中却很少或没有体现这种整体性和一贯性，使此种理念仅仅停留在了文本层面，学生不能体会到数学深层次的内涵与内在的美。因此，在小学阶段“数与代数”内容的教学中渗透代数思想势在必行。

　　一、何为代数思维

　　所谓代数思维，即是由关系或结构来描述的，它的目的是发现(一般化的)关系、明确结构，并把它们联系起来。它与数(算术)思维不同，算术主要是由程序思维来刻画的，其核心是获取一个(正确的)答案，以及确定获取这个答案与验证这个答案是否正确的方法。

　　二、影响代数思维渗透的原因

　　1.算术与代数之间的割裂

　　算术(主要是计算)被传统地视为义务教育必不可少的一个有机构成，而一提到代数，人们则会想到中学数学学习的内容，认为这些内容是比较高深的，是小学生很难或不能理解的，因此片面地认为小学阶段的数学教学，应该以“算术”为主。

　　2.代数思维未显优势

　　在日常的教学活动中，教师往往会遇到这样尴尬的局面，即教师有意向学生渗透代数思维后，不仅没有发展学生的思维，反而让学生感觉是多余的，没有“算术”的方法方便好用，如在教学《商不变》的规律时，让学生利用规律计算一组题目：240÷60,24÷6,12÷3，在这一组题目的后两题，学生会利用口算直接写出得数，而不会去和第一题比较利用商不变的规律去计算。

　　三、如何在计算教学中渗透代数思维

　　小学计算教学中的代数思维呈隐蔽形式，通常渗透在学生明晰算理、掌握算法和巩固练习的过程中，如果能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、操作、分析、抽象、概括的过程中，体会到知识背后承载的方法、蕴涵的思想，那么学生所掌握的知识就是鲜活的、可迁移的，学生的数学素质就能得到质的飞跃。那么如何在平时的计算教学中渗透代数思想呢?笔者认为可以从以下几个方面进行操作：

　　1.在理解算理过程中渗透

　　计算教学的很多例题中都蕴含着代数思维，要求教师能够敏锐地发现、挖掘其中的代数思维，以此来培养和发展学生的代数思维。例如在教学苏教版二年级《两位数加一位数的进位加》一课时，部分教师往往习惯于如下教学设计：

　　(1)出示情境图，让学生说说从图中知道了哪些条件?出示问题，你会列式吗?板书：24+9。

　　(2)小组合作，探索算法，有困难的可借助小棒。

　　(3)学生汇报，交流24+9各自的计算方法。

　　方法一：从24开始，一个一个地往后数9个，就能算出24+9=33。

　　方法二：从24里面拿一个给9，9就成了10，23+10=33。

　　方法三：把9分成6和3，24+6=30，30+3=33。

　　方法四：4+9=13，20+13=33。

　　(4)优化算法。

　　方法一是用数数的方法，这种方法最简单，但不是计算的方法。

　　方法四是把24看作整十数20和个位数4两部分，先算两个个位数相加，再把计算的结果和20相加。

　　方法二、方法三都是先把一个加数凑成整十数，再计算，这种方法叫“凑十法”。板书“凑十法”思考过程，即

　　24 + 9=33 24 + 9=33

　　231或 6 3

　　10 30

　　教师重点强调了“凑十法”的思路，让学生通过摆小棒，很容易就理解了“凑十法”的方法，帮助学生理解了进位的算理。但很多教师对教材的挖掘止于此，其实这“凑十法”中间已经蕴含了代数思维。那么教师是否可以在学生理解了“凑十法”的算法后，向学生呈现24+9=23+10或24+9=30+3，这里的“=”不仅仅是表示两题计算的结果相等，更表示了“和不变”这一代数思维;或者更进一步向学生介绍24+9=24+10-1或24+9=30+9-6。也许有教师会认为，向学生介绍这样的方法会增加学生学习的难度，淡化本课教学的重点，其实不然，通过这样的介绍，可以帮助学生深层次地理解“凑十法”的内涵，实现学生的思维从“算术”到“代数”的转变。

　　2.在算法形成过程中渗透

　　算法的形成是计算教学的重要组成部分，在这一过程中蕴含着丰富的代数思维，但部分教师在平时的计算教学过程中往往会忽略这一特性。以某教师执教《整数除以分数》一课的教学片段为例：

　　(1)谈话：幼儿园李老师带来了同样大小的4个橙子。如果每人吃2个，可以分给几人?怎么列式?

　　学生口头列式。

　　提问：为什么用4÷2计算呢?

　　学生回答后，师小结：要求可以分给几人，就是把4个橙子，按2个一份进行平均分，看可以分成几份。

　　问：如果每人吃1个呢?

　　学生口头列式。说说你是怎样想的。

　　(2)出示：如果“每人吃个，可以分给几人”又怎么列式?

　　学生口头列式，教师板书：4÷

　　追问：为什么也可以用除法计算?

　　学生回答后，师小结：就是把4个橙子，按个一份进行平均分，看能分成几份。

　　(3)4÷的结果是多少呢，可以通过动手操作得到。每桌都准备了四个圆形纸片，把它们当成橙子，按题目的意思去剪一剪，分一分。

　　学生动手操作

　　指名回答答案

　　根据刚才分橙子的过程，把你能想到用过去学过的计算方法计算出结果吗?在小组里讨论一下。

　　全班交流，交流中使学生明白：计算4÷可以这样想：1个橙子可以分给2个人，4个橙子可以分给4×2=8人。

　　4、谈话：从刚才大家的交流中我们可以看出：板书4÷=4×2。

　　这里的2和是什么关系，从这个等式你能发现了什么?

　　学生先独立思考，再在小组里交流自己的想法。

　　反馈时恰当评价。(教师板书4÷= 4×2)

　　从上面的教学中我们可以看出，教师对于教学整数除以分数可谓是煞费苦心，从学生已有经验的导入到利用实物理解算理，再到学生动手进一步理解算理，最后归纳出整数除以分数的算法。应该说，学生通过这一系列的引导和操作，的确能够很好地掌握此种算法，但是在整个过程中，学生的数学思维是否得到了有效的发展?以笔者看来却是未必。学生之所以能够理解和掌握这样的算法，是基于他们直观的经验，那么我们的数学教学就永远停留在这种层面吗，为什么“除以一个分数等于乘以这个分数的倒数”这一算法成立却并没有深究。那能不能从代数的层面来帮助学生理解这题的算理呢?事实上，这一规则之所以成立，需要对乘法算式的结构以及两个因数之间的关系的深入探讨得到的：4÷=(4×2)÷(×2)=4×2。

　　3.在计算练习中渗透

　　苏教版数学教材计算练习的设计颇具特色，它不仅仅是对新授内容的反复操练，更无时无刻注重着代数思维的渗透。如苏教版三年级上册《两位数减两位数》“想想做做”中有这样一组练习“48-5、48-15、48-25”，教材设计这一练习，一是让学生继续熟悉两位数减两位数(不退位减、退位减)的计算，更要通过观察、比较，探索出被减数不变、减数增加(减少)几，差就减少(增加)几的规律，而这种规律在苏教版教材计算教学的内容中频繁出现，那作为教师是不是每次都只是让学生重复体验相同的规律?教师如何在现有的基础上进一步挖掘教材，发展学生的代数思维?

　　笔者在教学时进行了如下尝试：

　　(1)你能计算下列一组算式吗?48-5、58-15、68-25。

　　(2)学生独立计算，并观察比较这一组题目，你有什么发现?

　　(3)交流想法，总结规律：被减数和减数同时增加(减少)几，差不变。

　　(4)利用规律，完成下面的填空。57-18=50-( )、57-18=( )-8。

　　(5)利用这样的规律，你还能写几道算式?57-18=( )-( )。

　　学生通过这样的练习，学生从一开始的先计算等式一边的结果，然后利用被减数-差=减数、差+减数=被减数这样的方法来解决此类问题，到后来的把等式左右两边的算式看作一个整体，去发现两边被减数、减数的变化，利用规律直接写出结果，这种从计算到利用变化规律来解决问题的转变，正是从“算术”的学习到“代数”学习的转变，是对“数量的理解”到“对关系的理解”的转变。

　　在当下课程改革的大背景下，教师在教学中应当具备一种整体的观念，即今天的教学要着眼于学生明天乃至一生后续的发展。因此教师在小学阶段的计算教学中，要考虑到学生在今后的学习中需要发展怎样的数学思维，从而在平时的教学中适时地渗透。当然，这种渗透不是一蹴而就的，它需要在整个小学阶段循序渐进有机渗透，达到润物细无声，最终发展学生的代数意识，为以后学习代数知识打下基础。