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0w.net 乐老师授课与我教学实际的辩证分析 ——听乐经良教授谈高等数学教学有感 朱小林 上海海事大学 Email: xlzhu@dbc.shmtu.edu.cn 作为一名青年高等数学老师，只有在刚分配参加工作时由有经验的老同事带了几个月、听了十来节课；此后只知道自己埋头科研教学，很少有机会和同行坦诚交流，有时候想：我的教学理念和思想对吗，别人是怎么教的？听了乐老师的充满一股对高数教学热情的讲授之后，我首先的感觉是，我对自己教学的自信。另一方面，结合我自己的教学实际，有些地方我觉得应该辩证分析。 我完全赞同，也是现在自己身体力行实施的是：高等数学的讲授，应该易懂，想方设法让学生听懂。在备每一堂课前，甚至是就是在当场授课之时在我脑海里始终围绕的：假如我是一名学生，这样讲，我的反应是什么，能不能听懂。以此理念为中心，所以很多东西，跟随乐老师的讲授很有同感和共鸣。印象最深的就是，乐老师提到的：尽量利用图像讲授高数中的概念，证明定理和解题等等。事实上有个专门的词语叫数形结合。极限、连续、导数、积分，包括多元函数的极限、连续、偏导数和重积分等等，我最先开始讲授就是绘一个示意图。此外，高数教学中，应该让学生感觉它是实用的，生活中充满着高数，这点也是我在教学中所持的一个重要的教学理念。 这次学习之后，除了给了我自信之外，也给了我观摩同行高等数学教学机会，特别是观摩和体会了乐老师的高数教学的理念和方法。对比自己的教学实际和我校学生特点，我表达一下自己对某一些问题的看法。当然，我年轻学浅，所以有些观点也许与乐老师相左，还请见谅。 个人觉得，乐老师的几个地方。可能对交大的学生比较有效和实用，但不一定适合我校学生，所以应该结合我们学校实际对乐老师的讲授取长补短，进行借鉴，不能全搬。举例如下： （一）极限：1、乐老师首先举了三个数列的例子以引出极限概念，以加深学生对极限的理解。我想同行们都知道，极限是学生学习微积分的关键，也是高数学习的可以说是第一难点。我个人感觉乐老师的第三个例子是否对学生太难，特别我校学生。如果一开始，例子太难，让学生一看，复杂的一个表达式，我想学生的第一感觉是：晕！是否会影响学生对极限概念的理解，从而是否会达到加深学生对极限的理解的真正目的。2、数列极限的几何解释是否妥当，因为，数列是一个个特殊的函数，与后面曲线函数是有区别的。一开始，就把极限用几何来解释，把数列和曲线函数搅在一起。我担心对学生来说，能不能反应过来。因此，对于函数极限，谈几何意义是非常恰当的，我非常赞成函数极限强调其几何意义。但我个人认为数列极限应强调其数字变化趋势，是数字大小在无限的接近一个确定的值。这样是否会让学生接受极限轻松些。3、是否应该强调极限首先是个确定的值。个人感觉，在实际教学过程中，极限讲了半天，有相当一部分同学根本不知道极限到底为何物？极限到底是函数还是数，学生很糊涂。当然，极限不单纯是个数这么简单，还应该强调过程。确定的值和过程是极限的两大要素。但乐老师在讲授中似乎过于强调过程，好像没提极限本质就是个数这一点。3、乐老师在谈到极限的图像表示时，说到“几乎所有项在（A-e，A+e）”，“几乎所有….”这个通俗的理解，学生完全能理解老师的意思；但换个听众，严格数学意义上看，从实变函数观点看：几乎所有点在区间（A-e，A+e），并不表示区间外只有有限点，而是可数个点。这就产生一个思考：在高数教学中能否用这种类似的从专业数学来看并不十分严谨，但学生能方便理解的语言吗？当然，我这是在钻牛角尖，但我在实际教学中也很喜欢用类似这样的语言，因为我个人感觉，这样做有时候能让学生很直观的理解某些概念。如，我在教学中，曲线可导，我就会对学生说就是曲线看上很光滑；全微分，就是曲面看上去很光滑等等。4、乐老师在讲极限时，只强调了牛顿的贡献，乐老师似乎把莱布尼兹忽略了。 （二）等价无穷小的替换：当然我也认为它非常重要。乐老师的绝大部分观点，我都赞同。但在讨论，什么情况下替换的情况以及讨论到底能不能替换，我认为针对我校学生太复杂了，学生会发晕。我在讲授时是反复强调：等价无穷小替换只能是分子分母的因子才能替换，差和和的情况的替换，无论什么情况，我是坚决制止他们去做的。 （三）隐函数三定理：这节课的讲授确实有难度，我也完全赞同重点把定理解释清楚，让学生明白他们是怎么一回事。但我认为椭球面的例子有点难度，学生对多元隐函数显化，以及这个过程从图像上去理解，对大部分同学来说应该是要求太高了。我在讲授时用的是单位圆，感觉还可以。 当然，乐老师的大部分讲授，我感觉还是受益匪浅的，有些地方感觉很精妙：如微分中值定理，构造辅助函数采用形式分析，这个很妙，我以前没想到。再有，定积分及其应用中乐老师的无穷小分析，这点令我钦佩。在讲这节课时，我也很想跟同学解释：为什么可以用矩形近似，为什么扔掉了一点点可以。可我对自己能否讲清楚没有信心，从而讲不清楚就不讲为原则，我都是遗憾的没有讲。乐老师的无穷小分析让我眼前一亮，我个人认为很漂亮。既干脆又简练易懂，相当严谨。 以上，很多东西可能有些偏见，但确是我参加这次培训的深切体会。水平有限，如有不正确的地方，请相关老师见谅，并希望多交流。 上海海事大学 朱小林 二零零八年三月 来
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