整体认识几何课程主线的几个维度

3.从定性到定量

大致来看，在小学主要是定性的感受图形，观察图形，描述图形。换句话说，在学生初步学习一类新图形是往往是需要这个过程的，这个过程要充分，不要一带而过。随后，学生需要从定量的角度刻画图形的一些特征，如边长，角度，面积和体积等，如位置的确定也是图形定量描述的阶段（平面直角坐标和极坐标）。

定性和定量都是为了认识图形和刻画图形，是不同阶段的任务。当然，图形的认识必须经由定性到定量的过程，最后到达定量，不能总是处于定性的描述水平。

高中学生在几何的定量学习方面有非常多的机会，教师要重视学生的学习基础是什么？高中教师要注意调用学生定性学习的储备作为教学资源。

如向量坐标几何的学习，就是建立在学生大量的定性描述基础基础上的，学生学习过直观辨认长正方体的特征，学习过从动物园门口到熊猫馆路径的描述。

综合立体几何的学习（数学2的立体几何初步）也是定性学习的内容，是为学生学习向量坐标几何做准备的。从立体几何初步到数学选修2的“空间向量与立体几何”的连贯，就是定性到定量的全部过程。课程改革强调的向量几何的学习，也正是在丰富学生定性和定量几何的贯通认识，比较过去而言丰富了学生的几何认识。

4.从静止到运动

儿童生活的周围充满了静止和运动的物体和实物。直接认识运动的物体和实物是有一定困难的，这就决定了学生的学习应该经由静止到运动的过程。学生需要认识到图形的哪些特征和性质是在运动下不变的。

在静止状态下，三角形有三条边，一个三角形折平移后与另一个三角形重合吗？一个等腰三角形沿底边上的高线折叠后两边会发生什么情况？一个正方形叠后是否与自己重合，一个长方形和一个平行四边形呢？运动的图形，运动的几何学习为学生建立变化、建立变量的认识提供了非常重要的直观，运动也是认识图形的必要视角。

高中课程充分发展了静止与运动关系的学习，解析几何初步和圆锥曲线的学习就是很好的载体。教师应该关注学生在这方面的学习经验有哪些，以便把立体图形的运动（如旋转体）和点的运动形成轨迹的学习建立在他们已有的基础上。

3.从定性到定量

大致来看，在小学主要是定性的感受图形，观察图形，描述图形。换句话说，在学生初步学习一类新图形是往往是需要这个过程的，这个过程要充分，不要一带而过。随后，学生需要从定量的角度刻画图形的一些特征，如边长，角度，面积和体积等，如位置的确定也是图形定量描述的阶段（平面直角坐标和极坐标）。

定性和定量都是为了认识图形和刻画图形，是不同阶段的任务。当然，图形的认识必须经由定性到定量的过程，最后到达定量，不能总是处于定性的描述水平。

高中学生在几何的定量学习方面有非常多的机会，教师要重视学生的学习基础是什么？高中教师要注意调用学生定性学习的储备作为教学资源。

如向量坐标几何的学习，就是建立在学生大量的定性描述基础基础上的，学生学习过直观辨认长正方体的特征，学习过从动物园门口到熊猫馆路径的描述。

综合立体几何的学习（数学2的立体几何初步）也是定性学习的内容，是为学生学习向量坐标几何做准备的。从立体几何初步到数学选修2的“空间向量与立体几何”的连贯，就是定性到定量的全部过程。课程改革强调的向量几何的学习，也正是在丰富学生定性和定量几何的贯通认识，比较过去而言丰富了学生的几何认识。

4.从静止到运动

儿童生活的周围充满了静止和运动的物体和实物。直接认识运动的物体和实物是有一定困难的，这就决定了学生的学习应该经由静止到运动的过程。学生需要认识到图形的哪些特征和性质是在运动下不变的。

在静止状态下，三角形有三条边，一个三角形折平移后与另一个三角形重合吗？一个等腰三角形沿底边上的高线折叠后两边会发生什么情况？一个正方形叠后是否与自己重合，一个长方形和一个平行四边形呢？运动的图形，运动的几何学习为学生建立变化、建立变量的认识提供了非常重要的直观，运动也是认识图形的必要视角。

高中课程充分发展了静止与运动关系的学习，解析几何初步和圆锥曲线的学习就是很好的载体。教师应该关注学生在这方面的学习经验有哪些，以便把立体图形的运动（如旋转体）和点的运动形成轨迹的学习建立在他们已有的基础上。

5.从直到曲

直的图形不论是定性的还是定量的描述，不论是在立体图形还是平面图形的学习都相对明确和直观，曲的图形的认识往往就使得学生产生困难。

直的图形，如直线一旦给定，我们就可以知道它所指示的方向。在建立了度量单位后，它上的一条线段总是可以度量的。一个直的平面图形，如三角形和长方形的面积（大小）也是可以根据给定的面积单位确定的。

对于曲的图形，我们所有的直观和直觉一下就失去了感觉，往往不知从何入手。这种困惑不仅发生在儿童的图形认知过程中，也同样发生在人类对图形认识的历史长河中。古时候，人们对于“圆”的认识就经历了这样的过程，那时为了计算出圆周率的近似值，需要做一个实物的大圆，有时半径长达数米甚至10米。可想而知，这不是一件容易的事情。只有人类发现了图形，发现了可以用画在地上或“纸”上的“圆”来代替实物的圆时，曲的图形的研究才开始找到方向，那就是用“直”近似代替“曲”。

以直代曲不仅在认识圆时是非常要紧的事情，它也是一般曲的图形研究和认识的通用法则。这个法则一直延伸到现代数学的研究中。在高中数学课程中以直代曲的几何思想为学生微积分初步的学习奠定了很好的直观基础。高中教师不妨让学生回顾他们小学“圆”的学习过程，在他们学习导数之前。

总之，几何课程主线的5个维度之间不是孤立的，是发展在学生学习的整个过程的，它们之间有着紧密的相互联系。