来
源初 中教 师*网 w Ww.9 1
0w.net
【摘要】 本篇是从一道东莞竞赛题出发进行研究，一题多解。将这道题作为一个很好的载体，通过对它的研究我们将各个数学分支的知识以及数学思想方法有机的结合到一起，全面培养学生的分析能力，扩展学生的视野。
【关键词】 一题多解；不同数学分支；思想方法；分析能力
题目：已知 、 是半径等于5的圆上的两定点， 是圆 上的一个动点，若 ,设 的最大值为 ,最小值为 ,则 的值为_________.
本题是一道数学竞赛题，适合于初中生与高中生。初审此题，我们很自然地想到要用到圆的几何性质来解决此题。最小值问题比较简单，当点 在圆上运动的时候，我们会发现如果点 异于 、 两点，则 可组成一个三角形，此时 .因此最小值是当点 在点 或者点 时取到，长度为6.
求最大值是一个难点，是我们本次研究的主题。笔者就求最大值问题给出了10种解法。这10种解法涉及到了平面几何、三角、解析几何、函数、微积分、不等式等领域。本题是一个很好的载体，有助于我们加深对数学思想及方法的认识。
一、几何方法
解法一：由观察，我们猜想点 在图1所示点 位置（即弦 的中垂线与优弧 的交点）时 取得最大值。这样猜想的直观依据是点 在 、 时取得最小值，由圆的对称性我们认为 沿优弧 运动时 逐渐变大，直至点 取得最大。后面的几种解法也都是围绕这个点 做文章的，出现点 时就不特别说明了。
来
源初 中教 师*网 w Ww.9 1
0w.net
|
