探究性学习在数学教学中的应用

　　探究，简言之，探索深究。探究能力是指在学生通过自主地参与获得知识的过程中掌握科学研究所必备的方法，培养探究未知世界的积极态度和能力。

　　一、引发兴趣、培养探究意识

　　“兴趣是最好的老师”。它能激发人们探求事物特征的强烈欲望。著名科学家施瓦布说过：“要变革传统的教室为探究性的教室”。一个人即使掌握了一定的能力和知识，如果缺乏积极的态度和探究精神，他的能力和知识仍然不能发挥作用；反之，如果有了旺盛的探究态度和热情，他的能力很快就会提高，知识很快就会拓宽和深化。实践表明，保持良好的探究心理态度，能收到事半功倍的教学效果，这对学生终生受益。教学中要让学生尽可能多了解数学史上成功的探究经验，以此来激发学生的探究兴趣。

　　如讲无理数时，可给学生介绍希伯索斯由其师毕达哥拉斯证明的“勾股定理”入手进行探究，发现了无理数的存在，从而推翻了毕氏的信条，被毕氏信徒抛入大海，希伯索斯为探究真理而献出了自己的生命；在讲到平面直角坐标系时，可从笛卡尔当年发现坐标几何的最初闪念的传说讲起，使多年来人们的梦想变成现实，恩格斯曾评价：“数学中的转折点是笛卡尔的变数”。

　　二、创造契机、激起探究灵感

　　孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”。由“好”和“乐”而产生的探究知识的迫切性是克服一切困难的内驱力。没有强烈问题意识作为“发条”，探究能力难以培养。教师在教学中要把握时机，不断创设探究情境，在“心求通而未达，口欲言而未能”之时，学生探究灵感最容易迸射出灿烂的火花。

　　如已知半径为9的⊙O有一内接等腰△ABC，底边BC上的高AH与一腰的和为20，求AH的长。教师先画图1，按学生思路解题，延长AH交⊙O于D，连接BD。∴∠ABD=900 ，设OH=X，则AH=9+X，AB=20-（9+X）=11-X，∵AD⊥BC，∴△ABD∽△AHB，∴AB2=AH·AD，即

　　（11-X）2=（9+X）·18。解得X=41，故AH=9+41=50，竟大于直径，此时正值“山重水复疑无路”，学生怀着浓厚的兴趣探究。（时机成熟）问：“题目是否有错误，按要求是否还有其它情况？”“一语破天机”，很快找到症结，原来图画错了，应为图2，解得AH=8。灵感被激起，真正进入了“柳暗花明又一村”的境界。

　　灵感是宝贵的。宋代诗人苏轼曾形象地说：“作诗火急追亡甫，情景一失永难摹。”作诗如此，探究教学又何尝不如此呢？

　　三、提供背景、尝试探究方法

　　“授之鱼，莫如授之渔”。教给学生科学的探究方法是培养探究能力的重要环节。

　　现代“科学”的含义，已不仅仅指科学知识本身，还包括认识科学的过程和方法，即科学是“知识”、“过程”和“方法”的统一。科学的教学过程亦是一种探究过程。“正是在探究过程中蕴藏着教育的本质”。在实施探究过程中，要注重借助直觉观察，激励猜想，大胆实验得出“亲知”，使学生始终处于探究之中。

　　1.直觉观察、投石问路

　　“真正可贵的是直觉。”直觉是数学中独特的思维方式，是探究的前提和萌芽，在教师指导下让学生自主地进行观察，亲自动手探究，得出初步结论。

　　如讲授数的乘方后给出下列趣题：（1）计算：112=？，1112=？，11112=？；（2）按规律

　　写出11…112=？，学生从112=121，1112=12321，11112=1234321，发现数位上的数字具有轴对称排列规律：从已知数字个数的数字为轴向两侧的数字依次减1，直到数字1为止，从而 =1234…（n-1）n(n-1)…4321.

　　一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位与个位上的数的和是该数的1/5，求这个两位数。有的同学发现，“十位与个位上的数的和是这两位数的1/5，因此个位数字必是5或0，而十位上的数比个位上的数小1，故个位数字只能为5，十位数字为4，该两位数为45”。

　　2.激励猜想、推波助澜

　　著名数学家波利亚说过：“要成为一个好的数学家，……你必须首先是一个好的猜想家。”猜想是探究的基础，举世闻名的科学猜想有“哥德巴赫猜想”、“黎曼猜想”等。教学时要鼓励学生大胆猜想，养成善猜、勤猜、乐猜的好习惯。

　　如解方程组 求出方程组的解 后练习解方程组 有的同学发现其解都是 ，于是获得一般猜想 解为

　　如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，AB=AC，过点A、D的圆与AB、AC分别交于E、F，弦EF与AD相交与点G，求BC=2时，AE+AF的长。

　　如何解决AE+AF与BC的关系？

　　当BC=2时猜想AE+AF=AB，

　　问题则简单化，事实上，

　　△AFD≌△BDE，从而AF=BE，

　　猜想正确。

　　3.实验操作、建立模型

　　“实践出真知”。探究教学要求：不应让学生“读”科学，而是动手“做”科学，其中的重要手段就是实验。要示范指导学生操作实验，得出解决问题的模式，在探究的过程中获得科学知识。大数学家欧拉在解决“哥尼斯堡”问题时从千百次的失败中，首先猜想：也许这样的路线根本不存在，反复实验，终于把人们企图一次无重复地走过七桥问题与众不同地抽象为数学模型。

　　A、B为平面上两定点，C为平面上位于直线AB同侧的一个动点，分别以AC、BC为边在△ABC外作正方形CADI、CBEJ，求证：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE的中点M的位置不变。

　　先退到特殊位置，如图4，当△ABC为等腰三角形时，DE∥AB，DE中点M为底边AB边上的高与DE的交点，若能确定MO的长度，则M点就确定了，为此，作AN⊥DE于N，则

　　Rt△ADN≌Rt△AOC，故AN=AO=1/2AB，从而MO=AN=1/2AB为定植。

　　再进到一般情况，如图5，过A作AN⊥AB，BL⊥AB，垂足分别为N、L，在AB上取点G，使AG=AN，有△AGC≌△AND，得CG=DN，同理△BGC≌△BLE，得CG=LE，从而有DN=LE，故DE中点M即NL的中点，取AB中点O，连OM为梯形ABLN的中位线。所以，OM=1/2（AN+BL）=1/2（AG+BG）=1/2AB，即M确是定点。

　　对于某些结论不定的探究问题，实验确是一种行之有效的方法。

　　探究能力的培养，应根据学生的实际，合理引探拓究，还必须有融洽的师生关系，让每一个学生都能参与探究。