小学数学教学中主要渗透的数学思想

　　由于小学生认知能力和小学数学教学内容的限制,只能将部分重要的数学思想方法落实到数学教学过程中,而对有些数学思想方法不宜要求过高。我们认为,在小学数学中应予以重视的数学思想主要有:集合思想、符号思想、对应(一一对应、单值对应)思想(主要体现在：数形结合思想、函数思想、变换的思想等)、化归思想、分类思想、统计思想、类比思想、优化思想、概率思想(随机思想)、建模思想(模型化思想)等。其理由是:( 1)这些数学思想几乎包摄了全部小学数学内容;( 2)符合小学生的思维能力及他们的实际生活经验,易于被他们理解和掌握;( 3)在小学数学教学中,有机地渗透这些数学思想可以为进一步学数学打下较好的基础。

　　一、集合思想。

　　集合思想创建者是德国数学家G?康托尔于1874年提出的，我国在1978年以后编的小学数学教材中也渗透了集合思想。

　　1、集合概念渗透。

　　2、集合关系的渗透。

　　包括等价关系和包含关系。

　　3、集合运算的渗透。

　　包括并集思想、交集思想、差集思想、空集思想

　　(加法) (公约数) (减法)(0的认识)

　　二、对应思想。

　　是指人的思想对两个集合元素之间联系的把握。许多具体的数学思想来源于对应思想。对应思想主要体现在：数形结合思想、函数思想、变换的思想。

　　1、数形结合的思想。在小学数学中的主要体现在：

　　a.利用图形的“一一配对”来理解数学概念。

　　b.利用“数”与“形”的对应，让学生理解数与式的概念。

　　c.用“数轴”渗透数集与直线上的点集对应的思想。

　　d.通过数形对应，分析应用题。

　　2、函数思想。

　　a.函数概念的渗透。

　　小学数学教材从低年段开始，如一个加数不变时，“和”随“另一个加数”变化而变化，也是找出其对应关系。正、反比例这部分内容更是集中渗透了函数概念。教师处理这部分教材时，应通过画图、列表等直观形式，画龙画晴地强调量的“变化”，突出“两种相关联的量”之间的对应关系。

　　b.函数表示法的渗透。

　　小学数学中几何图形的周长，面积和体积公式，实际上就是用解析法来表示变量之间关系的函数关系式。如圆面积公式S=πr2，圆面积随着半径的变化而变化。

　　3、变换思想。

　　在小学数学思考题中通过运算中的恒等变换，几何图形的平移、旋转、对称等变换渗透了变换思想。

　　三、符号化思想。

　　符号化思想。最早发明符号的数学家是韦达。英国著名哲学家，数学家罗素说过：什么是数学?数学就是符号加逻辑。

　　用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学的内容,这就是符号思想方法。在数学中各种量的关系、量的变化以及量与量之间进行的推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式来表达大量的信息,把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来,便于记忆,便于运用,正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象,正因为如此,用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。这种用符号来体现的数学语言是世界性语言,是一个人数学素养的综合反映。数学的符号化思想随着数学发展的需要逐步形成，而符号化思想的发展又成为数学发展的重要推动因素。由记数符号化开始，它逐步形成结构和谐的系统，它分为三个层次构成：

　　1、基本符号的约定。

　　如表示图形符号Δ，⊙，□等，表示已知量和未知量的符号a,x等。

　　又如在教学人教版课标教材第五册《搭配》一课时,一位教师设计了这样一个环节,在学生初步能够表示多种搭配方案后,出示生活中的例子:衣服搭配、早餐搭配、奖品搭配(本质上用符号来表示是相同的),请学生选择其中的一幅图,用自己喜欢的方式把搭配方案表示出来。学生反馈时,如果是用文字等表示,一看就知道学生表示哪幅图;当一位学生用符号或数字来表示时,教师提问:你猜这位同学表示的是哪幅图?引起了学生的思考,也使学生了解了用符号表示的优点,原来用符号可以表示这三幅图,不仅如此,还可以表示更多其他的搭配。

　　2、组合符合的约定。

　　由若干基本符号的组合就构成组合符号。如“3×2”、“n”!，如果组合符号再与“>”、“=”、“≠”表示关系的基本符号，按照一定规则相联接，就构成公式符号，如3×2=6;ab=ba等

　　3、公式符号的约定。

　　数学语言所包含的信息量的大小，直接影响着数学思维的效率，符号化思想以浓缩的形式表达大量信息，大大简化了数学运算或推理的过程，加快的数学思维的速度。简洁、准确的符号化思想还排除了普通语言的含混性，使数学思维活动能够清晰，准确地进行，这对简化数学运算或推理过程具有重要意义。

　　4、符号化思想是以下方式在小学教学中体现：

　　①小学数学教材中常用的数学符号。

　　a.元素符号 b.运算符合 c.关系符号

　　d.结合符号 e.约定符号

　　②符号化思想在小学数学中渗透

　　a.变化思想。

　　6-□>4;4×( )<40

　　b.用字母表示数的思想。

　　如简易方程。

　　c.列方程解应用题的思想。

　　主要体现在三个方面：代数设想，代数翻译解代数方程。

　　五、化归思想。

　　数学研究中,解决数学问题,往往不是直接解决原问题,而是将问题进行变换,使其转化为一个或几个已经能够解决的问题,这样的思想方法叫做化归思想方法。利用化归法转化而得到的新问题与原问题相比较,应该为已解决的或较容易解决的问题。所以,化归的方向应该是化隐为显、化繁为简、化难为易、化未知为已知。

　　六、类比思想。

　　数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想,它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。就迁移过程来分,有些类比十分明显、直接,比较简单,如由加法交换律a+b=b+a的学习迁移到乘法交换律a×b=b×a的学习;而有些类比需建立在抽象分析的基础上才能实现,比较复杂。

　　七、分类思想。

　　数学中每一个概念都有其特有的本质特征,它又是按照一定的规律扩展变化的,它们之间都存在着质变到量变的关系。要正确认识这些概念,就需要具体的概念依据、具体的标准、具体的分析,这就是数学的分类思想方法,即指按某种标准,将研究的数学对象分成若干部分进行分析研究。一般我们分类时要求满足互斥、无遗漏、最简便的原则。如在教学分数意义时可让学生辨析提问:一根小棒的1/2与1/2米哪个更长?学生就要分类说明:如果这根小棒比1米短,那么1/2米长;如果这根小棒正好1米,那么一样长;如果这根小棒比1米长,那么1/2米短。

　　八、统计思想。

　　统计的基本思想是：从局部观察资料的统计特征来推断整个系统的状态，或判某某一论断能以多大的概率来保证其正确性，或算出错误判断的概率。统计方法是由“局部到整体”、“由特殊上升到一般”的科学方法。

　　如“简单的统计”、“统计表”、“统计图”。

　　九、极限思想。

　　1、从“数量”上看“无限多”如2的倍数有“无限多”个。

　　2、从“图形”上看“无限延伸性”如角的两条边可无限延长。

　　3、从“方法”上看“无限逼近”。如，1÷3=0.333……

　　十、模型化思想。

　　“数学模型”是针对或参照某种事物系统的特征或数量关系,采用形式化的数学语言,概括或近似地表达出来的数学结构。模型化思想就是针对要解决的问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。

　　利用模型化思想解决实际问题,一般分三个步骤:

　　(1)根据实际问题的特点,恰当构造数学模型。

　　(2)在建立的数学模型上进行推理或运算,求得解答。

　　(3)把从数学模型中得到的理论解答返回到现实问题中去。

　　以上三个步骤缺一不可,其中构造数学模型是关键的一步。模型化思想的基本模式为:

　　因此,模型化思想实质上是体现出一种化归方法:

　　现实问题转化数学问题翻译　现实问题。

　　运用数学建模思想方法，主要是把现实世界中有待解决或未解决的问题,从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题,通过转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想方法。如握手的次数(或打电话次数)、打乒乓球的次数问题可以通过建模成组合的问题等。