“数形结合”思想在课堂中的使用

　　一、凑十法

　　“数形结合”思想是一种重要的数学思想。数形结合就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题一种思想方法。它既是个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。

　　在一年级的数学课堂中，经常会用到“数形结合”这一思想。例如在《古人计数》这节课中，如何让学生理解10个一就是1个十?我先让学生数出10根小棒，表示“10个一”，然后让学生把10根小棒捆成一捆，成为“1个十”。在这个过程中，学生非常直观的体验了10个一就是1个十，有效的突破了本课的难点。在学习“凑十法”时，也用到了“数形结合”的思想。如在学习数形结合在计算9加几的进位加法的时候，我先创设了“一共有几瓶牛奶”的情境，学生列出算式“9+5=”。接着我鼓励学生拿自己的小棒代替牛奶，摆一摆、算一算，看看应该怎么解决这个问题。学生四人小组展开讨论，认为可以从5根小棒里拿出1根，分到9根小棒中凑成10,然后再与剩下的4根小棒相加，得到14,这其实就是凑十法的真正意义所在。

　　二、排队问题

　　新教材中的解决问题领域的学习内容，不同于老教材的编排形式和学习背景，而是遍布于各个章节的具体数学学习内容中，它重视了数学知识和生活实际之间的联系，淡化了解决问题的类型，为学生的解答带来了很大困难，尤其是一年级学生。因此，在教学的实践过程中，适时采用数形结合思想，把抽象的问题解决放在直观的情境中，在直观图示的导引和教师的启发下，学生就能比较容易地理解各种数量之间的关系，从而能有效提高学生比较、分析和综合的思维能力。

　　例如，在一年级上册学了有关“前后”的知识后，经常会出现如下几种排队问题：①小明的前面有5人，小明的后面有3人，一共有几人?② 从前往后数，小明是第5个，从后往前数，小明是第6个，一共有几个小朋友?

　　这两道题目使学生的思维受到了严重干扰，什么时候加1，什么时候减1?对于一年级的孩子来说这是很难用语言去表达清楚的。在教学过程中，采用数形结合的思想，我引导学生通过画图来解决此类问题。怎样画图呢，怎样才能区分出小明呢?孩子们发挥想象各抒己见：小明用黑色圆圈来表示，他后面和前面的人用白色圆圈来表示;小明用三角形来表示，其他人用圆形来表示;小明还能用小竖线，小长方形来表示，只要能和他前面和后面的人区别开就行。

　　①○○○○○●(或┃)○○○ 列式：5+1+3=9

　　②○○○○△○○○○○ 列式: 5+6-1=10

　　透过现象看本质，通过画图排队类型的问题就会迎刃而解。第一个问题加1，是因为除了小名前面和后面的人还要加小明本人，尤其是第二个问题，通过图示使学生明白因为小明被数了2次，所以要减1。

　　三、比多比少

　　在一年级下册刚接触比多比少应用题教学时，孩子们通过画图，能形象的看清数与物(形)的对应关系，帮助他们建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分(或少的部分)，求小的数用大的数减去少的部分(或多的部分)。有的学生在刚学习比多比少应用题时，未能很好的建立起数与形的有机结合，没有充分理解掌握比多比少的基本数量关系，从而造成机械地记忆“多”字用加法，“少”字用减法。

　　四、简单的锯木头问题和植树问题

　　在解决问题中，除了用图示法，还经常使用线段图帮助学生理解题意、分析数量关系。例如常见的锯木头问题和植树问题利用画线段图来解决就比较的容易理解。

　　如：一根木头要想锯成5段需要锯几次?做这类型问题时，我引导学生用“——”代表一根木头，画一个“/”代表锯一次，有几个“/”就表示锯了几次。上题如图： 数形结合在一年级解决问题中的应用。这种方法孩子们画起来比较容易，看起来也一目了然。

　　再如植树问题，也是从图形中总结出解决方法。先模拟植树，得出线上植树的三种情况。

　　“___”代表一段路，用“∣”代表一棵树，画一个“ ∣ ”就表示种了一棵树。让学生在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法?

　　学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的?

　　师反馈，实物投影学生摆的情况。师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：

　　①∣___∣___∣___∣两端都种

　　②∣___∣___∣___∣___或___∣___∣___∣___∣一端栽种

　　③__∣__∣___∣____∣____两端都不种

　　师生共同小结得出： 两端都种：棵数=段数+1; 一端栽种：棵数=段数; 两端都不种 ：棵数=段数—1。借助“线段图”，变“看不见”为“看得见”，学生能清晰地看到不同栽种情况下数的棵树与段数之间的数量关系，化繁为简，不但能很好地帮助学生理清数量间的关系，还能明确和拓宽解题思路。

　　上楼梯问题，通过画线段图这样“形”的教学收到了明显的效果。许多孩子不会列算式，但是会先画图，利用图形再列算式。由于图形直观，用图来表示已知和所求，有助于思考，易于引出解题的线索。

　　五、“求比一个数多(少)几的数是多少的实际问题”。在出示例1，明确已知条件和要求问题之后。

　　(1)教师提问：想一想怎样摆才能一眼看出小华比小英“多摆3个”?

　　(2)学生同桌合作摆花片，交流反馈：

　　说一说你是怎样摆的? (先一个对一个地摆出和小英同样多的11个花片，再摆比她多的3个花片。)

　　教师相继板书：

　　这样，我们就能清楚地看出小华的花片是由哪两部分组成的?

　　(3)要求小华的花片，该怎样列式计算?为什么用加法算?

　　板书：11+3=14(个)

　　(4)小结：要求小华摆了多少个，就是求比11多3的数，就要把同样多的11个和多的3个合起来，所以用加法计算。

　　剖析：数形结合思想和一一对应思想的综合运用，为学生搭建了一座从具象的实物操作到抽象的数量关系分析的桥梁，使学生轻松而顺利地将新知纳入到原有的认知结构中，完成了知识的同化，深刻理解了求比一个数多几的数是多少的实际问题的数量关系，收到了较好的教学效果。

　　六、看图列式

　　数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学，数量关系和空间形式在数学中相互渗透，相互转化。数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，是数学的基石。数学家华罗庚指出，数缺形时少直观，形缺数时难入微。这就要求在研究数学问题时，把数形知识结合起来，引导学生从数的方面用分析的方法进行抽象思维，从形的方面进行形象思维。例如，1.出示圆圈图：9个蓝○，1个红○。师问：“小朋友，你们能说说这个图的意思吗?”生答：a.有9个蓝○，1个红○，合起来是10个○：9+1=10 b.有1个红○，9个蓝○，合起来是10个○：1+9=10 c.有10个○，拿走9个蓝○，还剩1个红○：10-9=1 d.有10个○，拿走1个红○，还剩9个蓝○：10-1=9 2.出示小花图，8朵红花，2朵绿花。师问：小朋友，你们会说这个图的意思吗?怎样用算式表示呢?四人分组讨论，并请一组将算式写出来：8+2=10 2+8=10 10-2=8 10-8=2数形结合，在操作中从形的方面进行具体思考后逐步过渡到数的方面进行思维，这样不仅可以帮助学生较为深刻地理解算理，同时促进了学生形象思维和逻辑思维的协调发展。

　　七、认识“11”的组成

　　师：那现在我们回过头来看看“沙滩上有多少只海鸥?”

　　生：11只

　　师：你是怎么知道的?

　　生：我是数出来的。

　　师：你是怎么数的?

　　生1：我是1个1个数的

　　生2：我是2个2个数的

　　……

　　师：同学们都数对了，如果用小方块表示海鸥的只数，大家想一想，应该怎样摆?摆多少块?

　　生：应该摆11块。(学生摆出)

　　师：如果把小方块堆在一起，还能不能准确地看出大家摆的是11块?

　　生：不能。

　　师：那你能不能想一个好方法，让大家一眼就能看出是11。下面请同学们分小组，通过合作的方式找出一个好方法。(分小组让学生独立思考，摆学具)

　　(分小组让学生汇报，把学生不同的摆法在实物投影上展示)

　　师：你觉得哪种方法能一眼看出是“11”?

　　师：这一排有10块，表示“1个十”。旁边还有一块，表示“1个一”，合起来就是“11”。

　　你也能像这样摆出“11”吗?自己摆一摆。

　　(学生摆出“1个十”和“1个一”)

　　师：现在你来指一指哪是“1个十”?哪是“1个一”?(学生分别指出)

　　师：(课件出示“11”的组成图)老师也摆出了“11”。(指着“1个十”)这表示什么?

　　生：1个十。

　　师：(指着“1个一”)这表示什么?

　　生：1个一。

　　师：这“1个十”对着的位置，我们给它起个名字叫“十位”。十位专门用来表示有“几个十”。

　　这“1个一”对着的位置也有一个名字，叫“个位”，个位用来表示有“几个一”。

　　看看你桌上的计数器，你能找到个位和十位吗?

　　生：(在计数器上指出)右边起第一位是个位，第二位是十位。

　　师：我们还可以用计数器上的珠子来表示数。想一想，11在计数器上该怎样表示?(学生自己探索表示方法，交流后，得出正确的表示方法)

　　(课件演示：10个小方块变成1个珠子落在十位，1个小方块变成1个珠子落在个位)十位和个位上都用1个珠子表示，同样是“1”，表示的意思一样吗?

　　生：不一样。十位上的1表示“1个十”，个位上的1表示“1个一”。

　　师：对。“11”是由“1个十”和“1个一”组成的。“12”是怎样组成的?你能在计数器上表示出来吗?(学生在计数器上表示出12)

　　生：在十位上拨一个珠子表示1个十，在个位上拨2个珠子表示2个一，合起来是12。

　　师：那现在谁还知道了12的组成?

　　生：12是由1个十和2个一组成的。

　　加强数学数形结合思想方法的渗透，是突出数学本质，提高数学能力的重要组成部分，发展学生数学思维能力，提高学生数学素质不可缺少的金钥匙。

　　八、5以内的加法

　　师：同学们看一看，图中的小同学正在校园里干什么?(出示图1)

　　生1:有3个小朋友在玩

　　生2:有3个小朋友在花园边，好象在浇花

　　师：再来看看这幅图，有什么变化呢?师动画演示 两位小

　　朋友走过来。如图2。

　　生1:又跑来了两个小朋友

　　生2:现在有5个小朋友了

　　师：谁能完整的说一说从这幅图中你看到了什么?(多让几个学生说一说)交流结果，师小结：原来有3人浇花，又来了2人，一共有5人。理解加法的含义。

　　(1)提问：你是怎么知道一共有5人的?

　　生1:我数的，1、2、3、4、5

　　生2:3和2合成5

　　生3:原来有3个人，又来了2个人，一共有5个人

　　师：象这样把3人和2人合起来就可以用加法计算。写成算式：3+2=5(板书3+2=5)揭示课题

　　(2)认识加号(书加号)

　　(3)教读算式：3加2等于5。

　　(4)师提问：根据图意，谁能说说3表示什么，2表示什么，猜猜“+”表示什么意思?那么3+2=5表示什么意思?(多找几个人说说)

　　(评析：这一部分教学内容主要是实现让学生从“形”到“数”的过度在这一段教学过程中，教师注重向学生展示3+2的过程，即原来有3个小朋友，后来又来了2个小朋友，合起来一共有5个小朋友。并且让学生充分的表达这个过程，在表达的过程中，让这种“合起来”的思想慢慢渗透到学生头脑中，这也是“数形结合”教学中的一个重要过程，即：形的内容要首先内化为学生的思想，然后再过度到数的形式)

　　师：谁再来说一说你是怎么知道一共有5人的?

　　生：原来有3个又来了2个，合起来有5个

　　师：还有什么情况下也可以用3+2=5表示呢?

　　生1:我先伸3个手指头，又伸2个就有5个了。孩子可爱的一边掰手指，一边说着)生2:我先吃了3个(块)糖，又吃了2个(块)，一共吃了5个(块)

　　生3:妈妈买了好多苹果，我先拿了3个，又拿了2个，一共拿了5个

　　生4:我有3个(枝)铅笔。妈妈又给我买了2个(枝)，一共有5个(枝)了

　　还有许多学生急切的举着手想说。

　　(评析：这一段的教学设计可谓是别具匠心，学生从朋友浇花图中认识了“3+2=5”，在学习了写法，读法后，教师又开拓学生的思维，让学生进行发散性思考：还有什么情况下也可以用“3+2=5”表示?这样做的目的是为了更加深刻的理解加法的含义，让学生从日常生活中进行提炼，说出与“3+2=5”意义相同的情形，激发学生利用“形”辅“数”的热情和兴趣，在学生多样的举例中，更加深刻的理解了“3+2=5”及加法的含义，做到了“形变质通片断二：

　　师：同学们看看第一道题里是怎么画的?为什么这样画?

　　生1:画了5个小圆圈儿

　　生2:不对，是分开的，一边画了2个，一边画了3个

　　生3:左边画了2个小圆圈儿，右边画了3个小圆圈儿，一共有5个小圆圈。

　　生4:因为是“2+3”，所以先画2个，再画3个

　　师：你能像第一题题那样，先画一画，再填得数吗?

　　先画一画，再填得数

　　2+3=□1+1=□1+4=□

　　OOOOO

　　对于“1+4=”这道算式学生大致有以下几种画法：

　　1、画在一起：OOOOO

　　2、画圆圈正确：OOOOO

　　3、画其它图形：☆☆☆☆☆

　　4、画具体物品苹果、梨等

　　对于第1种画法老师是这样处理的：

　　师：你是怎么想的?

　　生：1+4=5,我就画了5个

　　师：同学们觉得这样能看出是“1+4吗?

　　生1:能，1个和4个合起来是5个

　　生2:只看出是5个，看不出是“1+4”

　　生3:不能，2和3合起来也是5!

　　生4:应该分开画，一边1个，一边4个，离远点!

　　评析:看到这儿，我不禁为这位老师叫好!如果前面的教学，学生是从具体的图过渡到具体的计算，那么现在便是由具体的计算再返回到，既加深了对算理的理解，也培养了学生“数形结合”思考问题的能力。