把数学变得容易一些

把数学变得容易一些，主要有三个途径：

想想哪些难点是人为制造的，不必要的规定要改掉；

引进新的概念时，必须适合学生的思想，了解学生的生活经验；

教给学生比较一般的解题方法。

数学本来就不容易

数学教育的不景气是世界范围内近几十年的事情，当然原因是多种多样的。其中有一个重要的原因就是数学不好学，太难，花了很大力气去学，学了之后觉得不划算。美国有一个著名的数学教育家说，由于学数学，一些学生从有年轻就对人生失去了信心，从这个意义上讲，我们的数学教育在毁灭年轻的一代。虽然他说得严重了一些，但在一定程度上反映了实际情形。

学数学为什么感到难呢？其他的学科，往往经过历史上的变革，原来的就没用了，如物理学中的光学，原来是粒子说，粒子说被推翻了，就不学了。化学原来有"燃素说"，物理原来有"热素说"，这些理论，一被推翻就不用了。数学则是从古到今，几乎每一个年代的成果都要继承下来。所以人们说，哲学家是把人家的那一页涂掉，写上自己的一页，而数学家是加上自己的一页越积累越多。另外数学用处越来越大，对数学的要求越来越高。如果一位学电机的学生学的数学太少，一到单位人家马上就发现了，说这不行啊，数学上什么什么都没学……社会对数学的要求越来越高，数学发展越来越快，数学积累知识越来越多，所以数学越来越难学。

人为制造的难点

在数学难学的客观事实的基础上，我们还人为地制造了许多难点，自找了许多麻烦。从小学开始，比方说出了一个题目：3个人每人分2个苹果，一共多少苹果？小学生一定要写"2×3＝6"，如果写成"3×2＝6"老师就要扣分。这个问题，我多年来是想不通的，多数数学家也想不通。你辛辛苦苦地教学生2×3不能写成3×2，然后又要辛辛苦苦地教学生2×3＝3×2（交换律），人为地增加了难点。这是一个定义的问题，你一开始规定2×3和3×2是一样的，既可以代表2个3，又可以代表3个2，这样就可以了，学生就不会犯这个"错误"了。人犯不犯法不仅取决于人，还取决于法律。法律规定得太严格了，人犯法就多一些，法律适当，犯法的人就少一些。最近北师大数学教育研究所编了一套21世纪的小学教材，吸取了这个观点，2×3和3×2可以通用。试教时，老师有一种"解放了"的感觉，学生也感到高兴，这少犯了许多"错误"。

要减少一些人为的难点，这是把数学变得容易一些的第一个要求。

现在考试的方式多，题量大，钻牛角尖的题也多。一个多小时要做几十道题目，这就要求学生手快，平时把方法，公式都背熟，不允许考生反复思考。华罗庚先生说，他小时候学数学是这样学的：人家1个小时能做的题目，他要花4个小时才想通，然后他就有很大的收获了。按照现在出题目考试的方式，一般不留给学生充分思考的时间，原因之一是课本上的一些东西有可乘之机。如果从根本上、定义　上让他们没有犯金鼓齐鸣的可能，就可以使数学变得容易一些。我认为这是最基本的，应该做到的。要简化，这个简化不是少学某些知识，而是要突出关键的。不要斤斤计较某些概念，比如说什么叫方程啊……反正就是这个问题，就看你会不会用，能不能做出来。古代许多大数学家，用今天的标准看，许多概念是不清楚的，但有许多新的发现，做出了大的贡献。

还有追求严格性的问题。吴文俊先生在一次会上讲，学几何要严谨是吹牛，欧几里德的几何从来就不严谨，而且就是到了希尔伯特作了改进以后，教科书上也做不到严谨。为什么呢？举个例子，证明平等四边形对角线互相平分，要用到"两条直线平等则内错角相等"的定理。但是，你怎么知道哪两个角是内错角？你证明了没有？要证明是内错角，就要证明有两个点是对角线的两侧，而这是非常难证明的。没有哪一本教科书（包括欧几里德的原本）证明了它是内错角的，都是直观看出来的。我们主张，学几何不要强调它的公理，它的严谨，而是强调它的思想和方法。用几个基本原理，可以解决许多问题，这就是思想方法的高明。基本原理对了，细节上不要追求，可以查文献，历史上许多数学家的重要论文都是不严谨的，关键要有新思想。牛顿的微积分不严谨了200年，后来让别人给"严谨"了。那个200年如果要严谨的话，微积分就没法发展了，最主要的是要有新思想。

搞点人为的"容易"

我主张不要制造人为的困难，还要搞点人为的"容易"。什么叫"容易"？我认为"容易"对学生来说，就是具体、熟悉，而不是抽象、陌生。一个人感到什么东西很难，是因为对它比较陌生。如果你到来个新的城市，你可能一时找不到需要去的地方，因为你以前没到过这里。如果你住了几年了，你说感到很容易了。所以"容易"和"难"，关键是熟悉与不熟悉，熟悉了的东西感到是容易的，陌生的东西则感到是很抽象的。所以我们给学生讲数学或编书的时候，首先要想到学生头脑里熟悉的是什么。