从经验数学到学科数学

俞正强

　　厘米是小学数学学习的第一个计量单位。因此，在学习厘米的过程中，小学生会有一些十分有趣的表现，这些表现可以帮助我们增强对小学生数学学习的理解。

　　[课例片断1]

　　教师板书：张三比李四长____

　　师（请一高一矮两个学生来到黑板前）：同学们，请大家完成一道填空题，要求不重复别人的回答。

　　教师根据学生回答，整理如下：张三比李四长——很多/一些/半个头/10厘米/2米。

　　师：同学们讲了这么多不同的答案，你最喜欢哪一个答案，为什么？

　　生（回答有一定代表性）：喜欢“半个头”，因为它能让我们知道长了多少，“一些”、“很多”就不知道到底有多长，“厘米”和“米”没学过。

[解读]经验的呈现。一些、半个头、10厘米一年级学生学习单位的认识基础，是经验层面的描述用语。然而，这些用语在生活中的使用频率是不同的，大致可以描述为以下状态：一些、半个头等描述是具体的，是小学生灵活运用的，而厘米、米的描述多半是从其他渠道听来的。小学生知道厘米、米可以用来描述长度差别，但他们的脑海中却往往缺乏具体表象。但不管怎样，对于小学生来说，厘米、米已经进入了经验中，有的学生还知道千米、纳米、微米等，但这种知道是笼统的、模糊的。

　　 经验的生长。一些、半个头、10厘米，这些不同类的描述放在一起，通过“你喜欢哪种说法”，促使小学生去体会每一种说法之间的差别，从而形成以下认知：半个头比一些好，因为半个头的长度大致明白，而一些就不太明确。头是比较具体了，可是头也有长短、大小，有没有标准的头？厘米是什么？厘米是标准的头吗？

　　 以上内容的认知关键点有两个：一是学生感性地认识到了比较物的意义，二是学生形成了学习的需要，认识了单位这个标准比较物，从而完成了从无比较物到有比较物，再到标准比较物的认知过程。

　　[课例片断2]

　　师：同学们，你们尺子上的1厘米与其他同学尺子上的1厘米一样长吗？

　　师：为什么？

　　生：我的尺子6厘米，同学的尺子11厘米。

　　师：比比看，两把尺子放一起，比一比，1厘米一样长吗？

　　生：一样长。

　　师（拿出米尺）：同学们，你们尺子上的1厘米和老师尺上的1厘米一样长吗？

　　生：不一样长。

　　师：为什么？

　　生：因为您的尺子那么长，所以您的1厘米就有这么长（比划约5厘米）。

　　师：看看，老师这把尺子一共有100厘米。我们来比比看（投影），同学们尺子上的1厘米和老师的1厘米一样长吗？

　　生：一样长。

　　师：老师想考考大家，咱们金华的1厘米和北京的1厘米一样长吗？

　　生：不一样长，因为北京比金华大。

　　生：一样长。因为北京的表弟跟我买了一样的尺子，既然尺子一样，1厘米肯定一样。

　　[解读]小学生对单位的统一性理解基于两个经验：一是正面的经验。外地的小朋友使用的尺子跟我们的一样，所以1厘米应该一样。另一个是有干扰的经验，小树长成大树了，小树上的树叶也长大了，大树的叶子比小树的叶子大。孩子长大了，孩子的手变大了，孩子的手变成大人的手了。所以，当6厘米的尺子变成了11厘米的尺子时，它身上的1厘米当然也变大了。北京比金华大，整体变大，部分也当然变大，是一种具有比例意义的长大。显然，这种经验，在教学中屡次被教师修正。学生们在尺子的对比中发现：无论尺子怎么变长，1厘米始终是不变的。这就是数学上的“单位”有别于有机体的部分。

　　[课例片断3]

　　师：为什么全世界的1厘米都一样长？

　　生：因为尺子是按照同一个标准造的。

　　生：如果1厘米不一样长，我在金华是120厘米，到北京去就长高了。可是，我不可能长高得那么快呀。

　　[解读]在这个阶段，小学生们要理解的内容是：单位的统一主要是为了方便，为了比较间的相互认同。从认为1厘米不一样长，到认可1厘米一样长，学生已经跳出了自身的成长经验，认可了一种关于单位及单位累积的“积聚”模型。

　　小学生认识厘米，是一次重大的学习成长。他们的每一次成功学习，都是一次感性经验到理性认识的历练，他们的许多错误都有深厚的经验基础，在他们的视界里，一切都是有生命的，包括数学，包括厘米这样的单位。

　　（作者为浙江省金华市站前小学校长，特级教师）