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0w.net 初中数学课堂教学探究性学习案例 研究性学习是近年来兴起的一种全新的教学方式，它主要着力于学生的学，鼓励学生以类似科学研究的模式，进行主动探索．现就几何中的“相交线定理”“切割线定理”作如下分析：教材中将“相交弦定理”、“切割线定理”分割为两节课，我认为这两项内容合为一节课，更有利于数学课堂教学中实施探究性学习．
1.问题是思维的起点，是学生主动探究的动力，本教学案例始于如下研究性问题，同时通过动态地展示图形变化，让学生观察、探究
图1 （1） 已知：弦ＡＢ和ＣＤ相交于⊙Ｏ内一点Ｐ（图1），则ＰＡ·ＰＢ与ＰＣ·ＰＤ有何关系?为什么?
学生：连结ＡＣ、ＤＢ，由△ＡＰＣ∽△ＤＰＢ可得
ＰＡ·ＰＢ＝ＰＣ·ＰＤ．
教师：板书“相交弦定理” （2）若ＡＢ、ＣＤ的交点Ｐ在⊙Ｏ外（图2-1），上述结论成立吗? 学生甲：成立．连结ＡＣ、ＢＤ，由△ＰＡＣ∽△ＰＤＢ可得ＰＡ·ＰＢ＝ＰＣ·ＰＤ．
学生乙：成立．连结ＡＤ、ＢＣ（图2-2），由△ＰＡＤ∽△ＰＣＢ可得ＰＡ·ＰＢ＝ＰＣ·ＰＤ． （3）对图2，令ＰＡ绕Ｐ点旋转，使它和圆相切（图3）．上述结论有何变化?
学生：此时Ａ点与Ｂ点重合，即ＰＢ＝ＰＡ，可猜想上述结论变为：ＰＡ２＝ＰＣ·ＰＤ．
证明：（略）
教师：板书“切割线定理”．
图3 图4 （4）对图3，再令割线ＰＣ绕Ｐ点旋转，直到和圆相切，此时结论又如何呢?（图4）
学生：此时Ｃ点与Ｄ重合，即ＰＣ＝ＰＤ．
∴上述结论将变为ＰＡ２＝ＰＣ２，即ＰＡ＝ＰＣ（负值舍去）．
其实，这就是前面已学过的切线长定理．可见，切线长定理是切割线定理的特殊情况，它们是相互联系的． 2.深入探究，揭示和提炼规律
教师：如图5，由上述结论可得
ＰＡ·ＰＢ＝ＰＣ·ＰＤ＝ＰＥ·ＰＦ．
这又反映了怎么样的规律呢?
图5 简析：这是教学难点，教师演示：ＡＢ绕Ｐ点任意旋转，且分别在ＣＤ处、ＥＦ处停留一会儿，让学生慢慢地领悟到ＡＢ转到ＣＤ或ＥＦ或……时，ＰＡ·ＰＢ或ＰＣ·ＰＤ或ＰＥ·ＰＦ……的值不变．这说明了什么呢?学生思考、探索……
学生：割线ＡＢ的位置变化，但ＰＡ·ＰＢ的值不变．
教师：即ＰＡ·ＰＢ为定值．若⊙Ｏ的半径为Ｒ，ＰＯ＝ｄ，能用ｄ、Ｒ表示这个定值吗?由此你发现了什么结论?请你把这一结论用文字叙述出来．
简析：此时学生充分地联想：如何将ＰＡ·ＰＢ转化为Ｒ与ｄ的关系式?由ＡＢ的位置变化而ＰＡ·ＰＢ的值不变这一特征联想到：将ＡＢ旋转到过圆心Ｏ，就可得到Ｒ与ｄ的关系．
学生：将ＡＢ旋转到特殊位置上：经过圆心Ｏ．
（1）如图6，当Ｐ点在⊙Ｏ内时，ＰＡ·ＰＢ＝ＰＣ·ＰＤ＝（Ｒ－ｄ）（Ｒ＋ｄ）＝Ｒ２－ｄ２．
（2）如图7，当Ｐ点在⊙Ｏ外时，ＰＡ·ＰＢ＝ＰＣ·ＰＤ＝（ｄ＋Ｒ）（ｄ－Ｒ）＝ｄ２－Ｒ２．
（3）如图8，当ＰＡ为切线时，ＰＡ２＝ｄ２－Ｒ２．
由此可知：无论点Ｐ在⊙Ｏ内（或外），ＰＡ是割线（或切线），均有ＰＡ·ＰＢ＝|ｄ２－Ｒ２|，因而有结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段长的积为定值．
简析：这一深入探究，学生学会了将一般情形转化为特殊问题、化动为静的思想方法，用运动的观点去探索图形变化过程中所存在的结论．
图8 图9 3.巩固练习
（1）如图9，ＰＢ是⊙Ｏ的割线，交⊙Ｏ于Ａ、Ｂ，ＰＯ交⊙Ｏ于Ｃ，ＰＣ＝ＣＯ，ＰＡ＝４，ＡＢ＝５，求⊙Ｏ的半径．
（2）如图10，ＡＢ是过点Ｐ的一条弦，ＡＢ＝１０，ＰＡ＝８，ＰＯ＝３，求⊙Ｏ的半径．
图10 图11 （3） 如图11，Ａ是⊙Ｏ上一点，过点Ａ的切线交ＣＢ的延长线于点Ｐ，且ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ．
求证：ＰＢ/ＰＤ＝ＰＯ/ＰＣ．
简析：本教学案例的设计实现了以下三方面的转变：（1）教的转变．教师的角色从知识的讲授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者．本教学案例没有像教材那样给出一个定理，一步一步地练习，一点一点地落实，而是利用图形变化，突出观察点．如：交点Ｐ在圆内延伸到圆外；直线与圆相交，旋转到相切；激发学生自觉地去探究数学问题现象背后的本质（ＰＡ·ＰＢ的值不变），体验发现的乐趣．（2）学的转变．学生的角色从学会转变为会学，对相交弦定理、切割线定理及其推论，并不是孤立地去记一个又一个定理，而是观察它们的联系，探究本质特征（割线ＰＡ的位置改变，而实质不变）发现隐含于其中的一般规律（ＰＡ·ＰＢ＝|ｄ２－Ｒ２|），从而培养学生运动、变化、发展的辩证唯物主义观点．（3）教学目标的转变、教学目标从落实双基、培养思维能力提升为情感、意志、能力、知识等全方位的培养，达到如下几个目标：知识目标，随着对图形的演化的研究，学生对圆幂定理的理解层层推进，螺旋上升，整体掌握，从而能灵活应用；能力目标，学生学会了联想、类比、化归等数学思想方法，培养了探索和发现的能力；学法目标，不是停留在学会课本知识的层面上，而是站在研究者的角度深入其境、由表及里，将课本知识拓广深化、再创造，体验研究的氛围和真谛；德育目标，学生的主体意识被唤醒，获得积极的情感体验．如：探究的好奇、好胜心理倾向；认真探究，克服困难的心理素质等，培养了学生的科学态度和科学精神．
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