浅谈初中数学“难点”的教与学

  作为一线的数学教师，相信大家在教学中都遇到过这样的问题：无论使用什么教材，对数学思想难以理解，数学思想方法难以掌握，能力的培养难以达到教学大纲要求，学习困难的学生总是为数不少。当然造成这种现象原因是多方面的，解决这个问题也必须由多种因素才可以决定的。但我从教师这个角度去反思，个人认为：数学中未能 处理好“难点”是主要原因之一。　 　　

　　其一：我们教师对数学教学中“难点”的形成是否有足够的队识?尤其是站在学生角度上的认识。从知识结构上来说； 　　首先，教材中“难点”常常出现在数学思想迅速加深密化、大步跳跃的地方。学生难以理解，当然无法接受使用。学生看不到“苹果”，想都没想过去摘“苹果”。　

　　如初—代数中“数轴、绝对值”的教学是教材中首次渗透"数形结合”的数学思想，是解决许多问题的重要的数学思想方法。可此时初一学生太缺乏对这种数学思想的认识(可以说毫无认识)，他们不可能意识到这种数学思想方法将来的应用，接受与使用当然困难。若此时处理不自然，让学生畏难．觉得未过这关，实际上给“数的开方 、二次根式、实数、函数及其图象”的教学设置了障碍，对其中大量的“数形结合”的思想的应用、问题的解决、难点的处理埋下了“祸根”。　　

　　其次，教材的难点往往出现在数学方法更抽象但要求更严格、更综合的地方。学生理解不透彻、基本知识尚不扎实、处理起来不顺利，久而久之，会本能地抗拒，丧失信心。学生虽看到“苹果”。但有心无力，够不着。　

　　如“应用题”的教学要求学生不仅有解方程的基本知识，且必须具有一定的综合、分析问题的能力，同时还必须具有一定的物理、化学等生活常识。“分式四则混合运算”不仅要有分式概念、分式基本性质(变号、通分、约分)的基础知识，还要有相当的”因式分解、整式运算”等能力。"函数及其图象”的数学要求学生不仅要有数形结合的数学思想，有“配方法、化归法、待定系数法”等数学思想方法有解决问题的实际应用，而且要求具备解方程组的能力。

　　再如：“平面几何的入门教学”(可能有的教师认为学习几何困难是从“三角形”这章才开始，其实仔细分析， 不难得出是从平面的起始阶段就开始逐渐积累的)已不再用学生刚熟悉的“四则运算、代入化归”等数学思想方法解 决问题，代之用学生非常陌生的“演绎、说理、推理、归纳、猜想、综合分析、反证、穷举”等数学思想方法，非常难适应，改变了学习力法与习惯， 一下子想充分驾驭必然十分困难。　　

　　对此：我们教师是否有足够的认识?如果没有充分的认识，处理不好“难点”的教与学是理所当然．处理好那才是怪事。　　

　　其二：我们教师对数学教学中“难点”的教与学理论上的研究是否已经升华至教学实践中?教师的主导，学生为主体的作用是否已发挥?我个人认为尚未达到此种境地。　　 　　

　　其实，“难点”教学未处理好，会使学生对新授知识体会不深，似懂非懂，理解不透，思维受到阻碍。从理沦上讲：难点“是学生难以理解和接受的新知识，它阻碍着头脑中活跃、敏感的认知结构，使原认知结构受到抑制，停留在难点处或者不能尽快适应新知识而产生新的认知结构，甚至会随时间的推移丧失学习的信心，造成困难。许多数学参考书，都从知识结构方面给出难点成因的分析，我前面也这样做了，这固然是必要的。但现代教育理论告诉我们，同时也是许多优秀教师教学实践所证实：“难点”的形成当然与知识结构有关，但知识结构是 “死”的，教与学都是“活”的，是能动的因素。如果学生具有良好的学习方式和思维能力，那么就会作用于学生的思维过程，学生有可能获得学习的动力，探索活动的主动权与自由，发挥主观能动作用，逾越障碍，突破难点，并在这个过程中发展自己的能力。作为教师的主导作用就是研究学生学习障碍的表现形式及产生原因，克服分散难点，创设渗透思维方法，培养思维能力的情境，激发学生的心理素质，使学生在原有的认知基础上，心理发展水平及能力进一步充实提高。一句话：发展学生的认知结构，就是发挥学生的主体作用，提高教学效率，教学质量。再具体一点说；如果说发展学生思维能力，提高学习效率是防止分化与提高教学质量关键，那么抓住数学思维中最为丰富，最为深刻的“难点”的教与学，充分发挥教师为主导，学生为主体的能动作用，则是关键的关键。剖析“难点”是要结合知识结构，便更应侧重分析教与学的原因，突破“难点”这个策略是重要的。 　　

　　下面是我在这个策略的指导下．认为较成功的几点体会，供同事们参考。　

　　分析难点原因，制定因材施教的计划，这主要体现在教学设计时。　　

　　首先，认真地学习大纲与教材，从知识结构和对能力的需求分析该知识点的“难点”，从而制定教学计划与目标，换言之：“吃透教材”。　　

　　教学大纲上对各知识点明确有：了解、理解、掌握与灵活应用四个层次的教学要求，教师参考书更是具体。备课与教学时一定要把握自己对这要求的具体理解。 　

　　如“数轴、相反数、绝对值等概念与数轴的画法”教学要求．大纲很明确是“了解”。会用数轴上的点表示整数与分数，会求有理数的绝对值和相反数(绝对值不含字母)。那么我们在制订教学汁划与目标时，一方面要注意切实渗透“数形结合”的数学思想(这是必须的，切不应放过一个渗透数学思想方法的机会)及处理方法；但另一方面不要盲目补充例题，拔的太高，舍本求末，脱离学生的实际情况，让学生感到吃力、困难、丧失信心。要知道这个“难点”可以在“式的运算、实数的绝对值”等效学中逐步加深，到那时，学生的认知结构比现在完善，接受会更快更准确。也就是说：这个"难点”是可以逐步分散的。 　

　　再如：“垂径定理公其逆定理”的教学，大纲明确是“掌握”。那么在制订教学计划时是否直接将目标定在“掌握”呢？我认为开始的两节课还是订在“理解”。先弄明白垂径定理的则、来源。创设情境说明与其他摹本概念与规律的内在联系(主要指圆的轴对称性)。在理解的基础上，从幕本应用开始，通过练习，逐步形成技能，达到“掌握”的层次要求。这不是消化“难点”吗?同时这样的教学对紧接着也是需要“掌握”的圆心角、弧、弦、弦心距及圆周角之间的主要关系”(主要是指圆的中心对称性、旋转不变性)的教学奠定了基础，渗透了“类比”的数学思想，不也是分散“难点”吗?前慢后快，提高学生能力的目的依然可以达到。 　　

　　其次：了解学生认知结构和学习的困难、学习动机、兴趣等和学习相关的心理素质情况，采取适当的对策。换言之“吃透学生”。 　　

　　作为教师应收集往届学生在某知识难点学习时的表现情况，易犯的错误，纠正的方法、适应情况等。从学生原有的基础知识，认知结构出发，考虑他们对“难点”的接受能力，制订出相应的教学汁划。 　

　　如：“列方程解应用题”的教学，学生在学习这种方法解应用厘之前惯于算术方法解题的思路，算术方法解应用题的思维定势在这儿起到了负迁移作用。因而“算式”变“等式”，“综合”变“分析”或者两者并用，设置的“未知量”当作“已知量”看待处理，学生感到困难。实际上，这是学生头脑中没有弄明白为什么要列方程解应用题。作为教师此时必须告诉学生算术方法需要—番相当的思考，未知数处于一种特殊定位，每次都要分析出一个未知数在一边，而巳知数在另一边的一个等量关系，难度自然较大。而代数解法，未知数与已知数处于平等的地位，要能根据题意列出方程，剩下来便是十分自然的程序化运算，实际上是用符号及运算来代替了算术解法的一部分思考。同时通过一些简单的例子米进行；比较，让学生把算术解法的思考转变为代数解法的思考。另外，此前学生“不熟悉生活”，没学过物理、化学等方面的常识，对“浓度、稀释、浓缩、顺水、逆流、十进位制的数的表示法、常用的几何体面积体积等、增长、增长到、增长率”等等十分生疏，很容易弄混意思，当然找不出等量关系。教师在制订教学计划时，必须以学生列方程的思维序列出发，采用“小步子”的心理原则。强化问题的发生过程，先选常用的简单实际问题，让学生初步体会到方程应用题意义，基本掌握：分析题意，列代数式过渡到通过等量关系列方程解应用题方法。再通过典型例题的分析与讲解，逐步排除思维受阻的原素，达到分散、突破“难点”的目的。 　　

　　二、贯彻过程性教学原则，实施因材施教的措施，“小步子、密台阶、多活动”。这主要体现在教学过程(包括授课、批改作业、测验评估)中。　　

　　首先注意暴露数学思维过程、肢解“难点”。这是成功突破难点、培养能力的保证。因为坚持暴露数学思维活动中每一环节和层次，也就必须出了其中的基本数学思维和方法，培养了学生的思维能力，这是现代教育理论所肯定的。　　

　　如“分式的混合运算”教学中，指导学生先按照：“分母因式分解(处理分母)、通分、化简分于、分子因式分解(处理分子)、约分”这五个步骤进行运算，让其思维过程暴露，“肢解”了难点，提高其聚敛思维的能力，严谨的习惯。然后再提出更高的要求：根据题目寻济南市合理简捷的运算途径、提高其发散思维能力，突破“难点”。　

　　再如“一元二次方程根与系数关系”教学中，先低起点——用求根公式导出两根，引导求出两根和，两根积。从而得到关系。再“密台阶、多活动——简单求出两报刊，两根积过渡到求与两根和、两根积相关的代数式的值；简单的已知两根求作方程过渡到已知与两根和、两根积相关的代数式的值去求作方程。这样的教学过程由于保证了学生有充分的思考时间余地在旧知识的基础-上对新知识加工整理记忆，分层肢解，从而消化“难点”。

　　其次，及时的反馈，必要的纠正。现代教育家布鲁诺认为，数学中的反馈、矫正过程是保证大学生学生充分发挥认知 基础特征的重要方法，但需注意反馈要有效。采用一本作业本的做法，当天作业当天批改，引导学生思考评价自己的作业，反省发现问题，这各做法容易抓住学生的解题过程的思维过程，纠正不良的学习方式，培养学生能力。能及时发现新旧知识点连结，新知识点生长的情况；新知识的本质理解与新知识认知思维过程；运用新知识的方法、步骤及灵活性；非智力因素培养及心理创伤的治疗；学习习惯、方法的调整与矫正。同时，反过来对教师教法也有纠偏作用。实际上是间接消化“难点”。 　　

　　三、重视数学思维方法的指导，激发学生的学习兴趣，充分发挥学生的主体作用，让学生自然地突破”难点”就是说：预防出现“难点”，让“难点”形不成。以上两点主要叙述是遇到难点该怎样对付，该如何发挥教师的主导作用。但我感觉仍然是“救火队”，井未能防患于未来。其实数学教学的发展趋势，从过去的偏重教学内容的传授已经转向数学思想的渗透与能力的培养。可以这样说：每一个知识点的教学都与“数形结合、联想、类比、归纳——猜想——证明、运动变换、图形变换、逻辑分类”等数学思想的渗透，都与“代入、加减、换元、配方、化归、待定系数法”等数学方法有着难以分割的内在联系。教师能利用教学过程、创设思维情境、渗透数学思想，培养学生能力，有些“难点”就形不成。能达到这样的境地实际上从根本上消灭了“难点”。　

　　如“幂的运算法则”教学时，明确渗透“归纳——猜想——证明”的数学思想，使学生有“特殊得到猜想，证明过的一般可以解决特殊”的思路分析问题。对平面几何的入门教学引进“演绎、推理”的方法就显得自然。再如：利用乎面几何入门知识难度不大的时机有计划、有重点逐步训练学生掌握几何必需的技能与思想方法，在几何的起始阶段就开始调整学习方法、思维习惯，进入良性循环圈，对平面几何数学会有着不可低估的帮助。“全等三角形”的教学，我要求学生用硬纸板做两个安全示图形的翻折、旋转、平移、翻转，使他们很直观，类比对照地接受“图形变换”的教学思想，在当时可能显得多余，但却对后面的几何知识学习带来非常积极的意义。尤其是对平面几何中“图形的对称变换，位移变换”等许多教学上习题中的“难点”起到了潜移默化的分散、突破作用。注意：此时学生不感到困难。也就是说：“难点”并未形成，学习兴趣，自信心增强，学习能力得到提高。　　　　

　　再如“解方程(组)及因式分解，式的运算”等教学过程中，经常注意“配方、换元、待定系数”等数学思想方法技能的传授与训练，这些基础数学思想方法的牢固掌握，结合“数形结合，图形位移变换”，数学思想的渗透，“函数及其图像”的数学难度必然降低很多，教学时重点就可以把握在新旧知识的衔接上，学习效率自然会提高。不仅让学生看到“苹果”．且就放在他跳一下够得着的地方。教师的作用就是鼓励促进他去跳，摘下来品尝。　　

　　总之，作为教师，应以充沛的精力去抓住教学巾“难点”这—矛盾进行研究．从培养学生能力的角度出发，把握让学生负担合理这一原则，精心策划，刺激学生心理素质的良好发展，即激发学生责任感，增强自信，理解知识，选择学习方法，就一定能提高学生主动学习的积极性与学习效率，开拓学生思维，防止减少分化，达到大面积提高数学质量目的。