数学教学中如何培养能力

　　一、 数学教学中为什么要培养能力？

　　（一）、从数学教学的目的来看：

　　数学教学既要传授知识，又要培养能力。唯其如此，才能完成“学”与“用”的完美结合，实现“知识”与“能力”的有机统一，达到全面培养全面人的全面的根本目的。

　　（二）、从知识与能力的关系来看：

　　& 人的知识与能力是有区别的。已掌握的知识随着时间的推移将逐渐减少，而能力往往会在实践中得以加强。

　　& 能力的形成与发展要比知识的获取来得慢。为了培养能够适应未来社会的高素质人材，教师在让学生掌握好基础知识的同时，应注重其能力的培养，为他们以后学习更为复杂、多样的知识，承担更为繁重、艰巨的任务，作好能力上的准备。

　　& 掌握知识与发展能力都需要用意志去进行有意识的培养，两者是相互联系，相互制约的。学生掌握一定的知识必须以一定的能力为前提，学生的能力要通过知识的掌握而逐步形成与发展，已经形成的能力，则会大大地影响学生的进一步掌握知识的难度与速度。

　　（三）、从未来社会对人的要求来看：

　　& 科技发展日新月异。 如果学生在学校里只会掌握现成的知识，毕业后就会（甚至毕业前就已经）落后于时代。因此，学生必须在掌握知识的同时，不断地提高接受能力、培养自学能力、发展运用能力，以适应时代发展的需要。

　　& 科技是第一生产力。它要求人们能创造性地发现新规律，发展新技术。因而，要求学生在学习知识的同时，注意形成独立性、发展创造性、培养能动性。

　　二、数学教学中应当培养哪些能力？

　　（一）、从“新新人类”对能力的需求看：

　　随着知识经济时代的不断临近，掌握知识、处理信息、以及揭示规律等等成为适应未来社会的必备素质，因而，要求人们具备以下三个方面的能力：

　　& 自学能力：通过自学来接受新信息、掌握新知识，积累新经验，培养新技能的能力。

　　& 探索能力：按照观察、分析、综合、求证的研究程序，来探导客观规律的能力。

　　& 抽象能力：将一个问题的具体提法，抽象为一般提法，进而将其公式化的能力。

　　（二）、从数学教材的特点来看：

　　为适应教育、教学的特殊需要，教材内容往往按章、节、知识点进行编著。因而，在教与学过程中，对基本概念、数理运算、逻辑思维和空间想象等，不要作狭隘的、孤立的理解，要有一定的广度，要注意相互间的区别与联系，因而必须具有彼此“区分”与“联系”的能力。

　　（三）、从数学能力的特点来看：

　　数学能力有一般能力与特殊能力之分。一般能力包括：观察、记忆（理解）能力；特殊能力包括：实际运用（运算）、逻辑推理（空间想象）等能力。

　　三、数学教学中如何培养能力？

　　（一）、如何培养观察能力？

　　[一]、在概念教学中培养能力

　　& 在概念引入的过程中，培养学生的观察能力。

　　1. 提出新问题：任何一个概念的提出，都不可能是空穴来风，无中生有，都有一定的理论或现实基础。我们要重视概念的提出，并从中感受并领悟科学理论建立的心理历程与创造性思维散发出的四射魅力。

　　2. 定义新概念：从必要性、连续性、科学性与严密性等方面，认真研究定义新概念的思想与方法，在思考之中培养自身的观察能力。这里，有几个方面值得我们注意：

　　（1） 获得感性认识：利用教材中所提供的或补充的基本事实为材料，让学生感知它们、了解它们的各个侧面，然后分析 、比较其不同点与相同点，从而概括出它们的共同本质，抽象出新的概念来。

　　（2） 积累知识：关注概念的内涵（特征性质）与外延（适用范围），将概念进行合理的归类与灵活的运用。在复习中，善于观察并选定科学、客观、合理的分类标准，将各种概念系列化。

　　（3） 更新知识体系：帮助学生对以前学过的、并在新概念中需要用到的有关内容，进行复习性练习，使新、旧知识得以有效衔接。

　　（4） 培养能力：引导学生对特定事物进行观察，指导其怎样看、看什么，鼓励学生提问题，发观感。留适量观察性习题，以便更好地巩固概念，培养其分析、解决问题的能力。

　　[二]、在解题过程中培养观察能力

　　做一道数学题，大致上有：审题、想题、解题三大段 。

　　& 在审题时要细心观察。

　　解数学题首先要弄清题意。即：正确地感知题目中出现的主要概念，分清什么是已知，什么是求（证）。

　　& 在想题时要重视“特殊”的已知条件。

　　在探索解题思路时，往往会感到有些“特殊”的已知条件用不上，因而思路也找不出来。有时虽然思路找出来了，但如果注意到了已知条件中的某些“特殊性”，往往可以发现有更为简便的思路存在。

　　& 观察法解题

　　有些问题，思索的过程只可意会，难以言传，因此只好用观察法求解。即：先根据观察、猜想应用什么样的解，然后进行直接验证。

　　（二）、如何培养记忆能力？

　　所谓记忆 ，当然要包括“记”和“忆”两方面内容。记忆能力，是指在学习的同时，能记住或回忆一些最基本、最重要的知识的一种能力。其中，“忆”是目的，“记”是手段。

　　关键词：

　　1. 识记 ：通过反复的感知，借以形成比较深刻的映象与巩固的联系，从而记住这些映象与彼此间的联系。

　　2. 保持 ：将记忆中形成的映象和联系。通过复习和运用，加以巩固和保存达到“刻骨铭心”的效果。

　　3. 再认 ：将过去已经记过的事物重现于你面前，看你是否感到熟悉，并认出它是你以前识记过的现象。

　　4. 回忆 ：过去已经记过的事物并未重现在你的面前，但为了解决面临的问题，你能否忆起需要的知识来，并且真能正确地将它们再现出来为你解题服务。

　　[一] 、指导学生善于识记 掌握记忆的方法

　　& 识记的材料要经选择 ，一次记忆的对象越少越好。教师在备课时应当全面安排教学计划，根据重点与难点，将记忆材料进行合理的分布，使得每一节课内需要记忆的材料只有一件或两件。

　　& 着重培养有意识记能力，同时注意发挥无意识忆的作用。

　　1. 有意识记是指在教学开始就向学生提出明确的记忆任务与要求。采取这种方法的做法有利于学生集中注意力，一开始就重视所要记住的对象。

　　一般说来，有意识记的效果是好的。当然，在讲授过程中应当教育学生专心听讲，开动脑筋，积极思维才能收到对所学对象的理解与记忆的双重效果。

　　2. 无意识记的体验几乎每个人都有过。例如：看一场电影事前并没有人向你提出要记住什么的要求，但你却能记住很多电影里的情节和画面。有的地方甚至很久之后，还记忆犹新。

　　在教学中应努力提高讲课水平，使讲课形象、生动、有趣味，能吸引学生的注意力，能给学生留下深刻的印象，使学生上课时，不仅能通过有意识记记住主要对象，而且在无意记忆中记住更多的东西。

　　3. 力求在理解的基础上进行识记。记住了的东西不一定理解它，理解了的东西就能够更好地记住它。

　　在教学中，应当使学生理解教材，并根据对材料的理解，运用已经具有的知识与经验来识记新的对象。在实际中最有效的方法是寻找事物之间的联系来帮助记忆，这种方法可称为“联系记忆法”。

　　[二]、帮助学生与遗忘作斗争加强记忆

　　& 遗忘过程的规律是：先快后慢，先多后少。“识记”过的东西可能被遗忘。为了帮助学生与遗忘作斗争，除了安排复习要及时，还应尽可能地避免机械的简单的重复。每次都要有新的信息，以激起学生智力活动的积极性。

　　& 讲新课时要有意识地去复习和应用一些旧知识。例如采用复习旧知识，引入新课的教法，或者在练习中要用到过去的知识等等。有时，在新、旧知识的反复中，不仅可以达到“保持”的目的，而且能够加深理解。

　　& 加强知识点的小结工作，使其在知识系统中“永葆青春”。

　　[三]、培养学生善于用“联想”进行“再认”与“记忆”

　　& 学生为了接受“再认”与“记忆”的检查，除了依靠“熟记”之外，常常要靠联想来启发自己的记忆。常用的联想方法有：

　　1. 时空联想法：即从时间、空间上接近的事物想起。

　　2. 性状联想法：即从性质接近、形状相似的同类事物想起。

　　3. 关系联想法：即分析事物的因果关系、从属关系进行联想。

　　& 要达到能“回忆”，首先要能“再识”，一般说来，顺利地进行再识，才能去进行回忆。检查“再识”可用填空题、选择题来进行。

　　& “回忆”的前题是“再识”；“回忆”的启示靠“联想”；“回忆”的关键则是对问题的仔细观察与正确理解。

　　为了牢固记忆，常采用“备忘录”方式帮助记忆。如：将公式列表备查；将定理小结归类；将知识系统化、验证特例化。

　　（三）、如何培养运用能力？

　　培养运用能力不能只是简单地模仿，必须从实际运用、综合运用、灵活运用等方面着手，学好运用已有知识与能力去解决不熟悉问题的本领，培养集中性与发散性思维。

　　[一]、实 际 运 用

　　“实际运用”是指需要解决的问题是由数学知识的外部领域提出来的问题。数学只是作为解决这个问题的工具。

　　实际运用在数学教学中一般称为应用题。

　　解题的步骤分成三大步：

　　1、将原有问题转化为数学问题。

　　2、解决这个数学问题。

　　3、在答题时又要将数学方法得到的结论回到原来问题的意义上上去。

　　学生解应用题的最大困难往往在第一步，其原因是：

　　1、不熟悉原来问题，理解不了题目的意思。

　　2、不会将实际问题数学化。

　　在中学阶段学习的数学基础知识中经常作为“工具”来解答应用题的主要有以下六类，了解它们将有利于对问题的分析：

　　1、有关公式是工具：解长度、面积、体积类型的计算题。

　　2、有关定理是工具：解三角形问题时，一般运用正弦或余弦定理。

　　3、方程（组）是工具：关键是找等量关系列方程（组）。

　　4、函数是工具：讨论数学模型，关键是列函数式。

　　5、数列是工具：解有关“递变”问题，关键是分清等差、还是等比数列，抓住首项与公差（公比）。

　　6、不等式是工具：解有关最优问题、极值问题。

　　[二]、综 合 运 用

　　“综合运用”是指需要解决的问题用到了代数、三角、几何（平面几何、立体几何、解析几何）中至少两种基础知识或同一基础知识里的若干个知识点。这一类题材在数学中一般简称为“综合题”。

　　解综合题可以比较好地将各方面的概念、定理、公式、法则等联系起来加以运用，从而使学生加深对基础知识的理解，培养学生的思维能力。

　　解综合题的一般步骤是：

　　1. 仔细分解 将一个复杂的大题目分解成几个简单的小题目。

　　2. 各个击破 将小题目一个个地解决。

　　3. 全面综合 对各个小题目有了一定的了解之后，再进行总体的研究，求得原有问题的答案。

　　学生解综合题的困难在：

　　1. 平时练习得少，在学习过程中知识的传递是线性的，综合题型缺乏训练。

　　2. 不知如何将已有的知识、技能、方法加以灵活运用。

　　因些在教学过程中，应当改变以前那种直到总复习才重视综合运用的不当安排，将“综合运用”的数学思想体现到每一堂课中去。

　　[三]、灵 活 运 用

　　“灵活运用”是指需解决的问题要求解题者有相当的“灵活性”。这种灵活性一般表现为不能就题论题，而是要在正确领会原题的基础上，或者适当地变更一下问题的提法，使命题明朗化，易于用已知方法来解。或者通过进一步分析，找出隐含着的本质的已知条件，从而有利于问题的解决等等。

　　解“灵活题”对思维的训练是十分必要的，学生解这类题的困难在于：

　　1、 在学习过程中，经常是学习一个定理或公式，课上听讲例题，课后作业都是课上学的这个定理式公式。既缺乏综合性，又没有灵活性。

　　2、 变更问题的提法本身就是一件十分困难的事情，它要求多方面的基础和实践的经验。

　　在解灵活题时，常要变更问题的提法，以使问题明朗化、直观化，但经变更的问题，有的和原命题是等价的，也有的是不等价的，而不等价命题则需作进一步的讨论。

　　（四）、如何培养推理证明能力？

　　每一道数学证明题都是由已知的条件和求证的结论两部分组成的。我们的任务就是根据题目中的已知条件，运用有关的数学概念、公理、定理，进行逻辑推理，逐步地推出求证的结论来。由此可以看出，做数学证明题的基本功，一般为下列四个方面的问题：

　　1、看清题目意思 分清什么是已知条件，什么是求证结论。

　　2、熟悉证明依据 能熟练运用与题意有关的概念、公理和定理。

　　3、掌握推理格式 能正确地运用合乎逻辑的推理、证明。

　　3、 积累解题思路 通过“学”、“练”结合，拓展解题思路。

　　[一]、如 何 看 清 题 意

　　看清题意应达到三会：“会审题”、“会变化”、“会称呼”。

　　& 会审题 会不会审题是能否看清题意的基础。在教学中，首先，要培养学生认真审题的习惯；其次，要教给学生审题的一般步骤：

　　1、一题到手，首先弄清题目中出现了哪几个主要的概念，并回忆出它们的定义来。

　　2、根据题意分清什么是已知条件，什么要求证的结论。

　　3、有的题目还需要根据题意作图，或者运用数学符号和数字术语，写出已知与求证，即把普通语言“转译”成数学语言表达的题目，以使题目内容更加明确，证明过程更加清楚。

　　& 会变化 命题有四种：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。四种命题的变化它是通过改变题目中已知条件与结论之间的地位和性质而得到的。

　　原命题与逆命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，原命题与逆命题之间没有必然的真假关系。

　　在已知条件或者求证结论比较复杂的命题中，应保留其他各项，仅以一项已知条件与一项求证结论来“变化”。

　　关于四种命题的变化，在教学安排上，应注意两点：

　　1、 要分两个阶段教给学生。第一阶段：只要求会由原命题变化出逆命题。第二阶段：会相互变化。

　　2、 应在平时学习中给学生以多变的启发与机会。

　　& 会称呼 会称呼就是指弄清“充分条件”与“必要条件”的含义，并会运用它们。

　　由有“前面的条件”证得“一定有后面的结果”，则称“前面的条件”是“后面的结果”的充分条件。

　　由“没有前面的条件”证得“一定不会有后面的结果”，则“前面的条件”是“后面的结果”的必要条件。

　　将四种命题与两种条件的称呼联系起来。

　　[二]、掌 握 推 理 格 式

　　数学证明的依据是概念、公理、定理，它们都是数学中的基础知识。我们不但要正确地理解它们，还要牢固地记忆它们与灵活地运用它们。

　　为了正确地进行推理、证明，我们仅仅会“看清题意”和熟悉依据还不够。也就是说，我们虽然对于要证明的题目已知，会用已知条件和有关数学概念、公理、定理来逐步地推出求证结论来，还是不够的。还需要掌握一些基本的证明方法与推理格式，善于用数学语言来表达自己的思维过程。

　　常见的推理格式有以下五种：

　　1. 综合顺证格式

　　2. 分析法逆推格式

　　3. 反证法三步格式

　　4. 穷列法讨论格式

　　5. 数学归纳法二步格式

　　在平面几何里，还有重合法、同一法。

　　& 综合法顺证格式

　　从已知条件出发，顺着推证：由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式。

　　综合法是最常见的推理证明方法。它的书面表达常用“∵ ∴”或“=>”等。

　　& 分析法逆推格式

　　分析法证明的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等）。这种证明方法的关键在于要保证分析过程的每一步都是可以逆推的。它的书写表达常用的是“要证……只需……”

　　用分析法证明最后一定要指出“以上各步均可以逆推。”

　　在通常做数学证明题时，我们一般不用分析法逆推格式来书写表达证明的过程，而是常常采用综合法顺证格式。用综合法顺着证明（即由已知到求证）有时思路不一定好想，因此，常在草稿纸上用分析法逆推来“想”，等找到证明的思路之后，再用综合法顺证格式来写。通常称为“逆推顺证”的方法。

　　& 反证法格式

　　有时直接证明命题比较困难，则可以改证与原命题等价的逆否命题。这就是反证法的基本思想。

　　运用反证法的一般步骤如下：

　　1. 作出与求证结论相反的假定。

　　2. 由这个假定出发，用正确的推理方法 ，推出某种结论。

　　3. 指出所得结论与原题意（或相关定义、定理、公式等）不合，这一矛盾就可以断言与求证结论相反的假定是不正确的。因此，原题中求证的结论是正确的。最后由矛盾而作的断定就是运用了“排中律”来推理的结果。

　　& 穷举法讨论格式

　　对于已知条件或求证结论的情形比较复杂的证明题，往往可将原题分解成几个特殊问题来分别讨论。如果分别证明了这几个特殊的问题，归纳起来也就是证明了原来的命题。

　　常用格式为“当……时，如何如何；当……时，如何如何；……综上所述……”

　　用这种“穷举法”来证明，关键是要“穷举”，即对所有可能情形都要研究穷尽，不可以遗漏。

　　& 数学归纳法二步格式

　　数学归纳法（只适用于自然数集）的理论依据是数学归纳原理（可用反证法来证）。

　　原理：对于自然数集的命题，只要证明下列两个命题成立，就能断定原来的命题对于所有的自然数都成立。

　　1、当n=1时（有时虽不为1，但为适合条件的第一个数。），原来的命题是正确的（归纳基础）

　　2、假设n=k时，原命题是正确的，求证n=k+1时，（有时为n=k+2 ; n=k+3…）原来的命题也是正确的。（归纳的传递）

　　[三] 、 积 累 证 题 思 路

　　所谓“解题思路”就是能够沟通要被证明的命题中的已知条件与求证结论之间的逻辑“通道”。实现数学证明的关键在于能够准确、迅速地探求出已知条件到达求证结论的一条逻辑“路径”。

　　如何才能探求出一条逻辑“道路”呢？一般来说：

　　1、对于一些不太复杂的证明题掌握了前面的知识和能力，就能实现。也就是说当你分清什么是已知条件、什么是求证结论之后，回忆与它有关的概念、公理、定理，就可以探求到它们之间的一些必然联系，从而找到一条证题思路，并用某种推理格式严格地书写表达出来。

　　2、对于难度大的证明题，往往需要采用专门的方法与技巧。事实上，有些数学命题直到今天，人们也无法证明或举反例否定它。（这不在我们考虑之列）

　　3、对于难度比较大的一些证明题，需要学习一些其他分析方法，下面仅介绍几种常用的方法。

　　& 两头挤法

　　1、分析综合法：从求证的结论出发，反推分析、又从已知条件出发，综合证明，从而在某个中间环节达到同一。

　　2、左右同一法：恒等式的证明一般都是由繁到简，如果原式的左边和右边都比较繁，则可分别从左与右化简，在中间环节达到同一。

　　3、不等式的证明中的两头挤分析法，特别要注意保持不等号方向的不变。

　　& 辅助元素法

　　有的证明题，用两头挤法分析之后，发现原有的已知条件与求证结论之间难以找到直接的逻辑通道，它们之间的联系是间接的。这样一来，问题的关键就在于：引进某一个或某几个起连接作用的辅助元素，怎样寻找这种辅助元素，没有一成不变的办法，只有靠具体问题具体分析，与多多积累解题经验。

　　1、添辅助线法 这是平面几何中常采用的方法，正确添加的辅助线，在题目中一般都起着某种“桥梁”作用，将已知条件与求证结论沟通起来，形成一条逻辑通道。

　　2、设辅助未知数法（换元法或变量替换法） 在代数、三角分析中，使用辅助元素法，多称为换元法。“换元”通常可以使原有运算关系大大简化，逻辑层次脉络分明，有利于问题的解决。

　　3、作辅助函数法 在许多重要的数学定理的分析、证明过程中，往往要作一个辅助函数，这个辅助函数作好了定理就能顺利证出，我们要研究这种辅助函数是怎样想出来的。

　　& 计算证明法

　　（一）利用代数或三角的知识，运用计算的方法来证明几何问题。通常是先以最少量的字母来表示未知的几何量，从而将几何图形数量化，然后进行计算型的证明推理。

　　在利用三角知识解决几何问题时，通常用以下作法：

　　1、 求证有关线段的比、线段的积的几何问题，可以考虑用正弦定理来解决。

　　2、 求证有关线段的平方的几何问题可以考虑用余弦定理来解决。

　　（二）坐标法 在解析几何中，运用坐标方法将几何问题转化为代数问题。用坐标法证明时，首先要根据题意选取恰当的坐标系，把与几何图形的性质有关的问题，化为有关点的坐标数量关系问题。

　　在选取坐标系时，应重视具体图形的特点。如：中心对称、轴对称、垂直、平行、顶点、端点等等。使得选取坐标系的图形中有关点的坐标尽量简单，以利于下一步用代数方法证明。

　　& 一些恒等变形技巧

　　同一事物往往可以表示为不同的几种形式，而每一种形式往往能够比较准确、比较明显地反映该事物的某种特殊性质。而在数学中研究同一事物的“恒等变形”的主要性就在于此。在学习中我们不仅要熟练地记忆一些重要的恒等变形公式，而且要善于运用它们。在不同的问题中，根据具体问题的需要，恰到好处地选用合适的一种形式，从而比较顺利地解决问题。

　　在中学阶段学习的“恒等变形”，内容很多，下面列出六种是最重要的地做数学证明题时经常运用这些恒等变形的技巧，在进一步学习“微积分”内容时，也是不可缺少的。

　　1、乘法公式与因式分解 这种“恒等变形”在初中学习整式时开始遇到，从此以后，在数学学习中就经常在起作用，直到学习“数学归纳法”之后，又将几个常用的公式推广到更一般的情况。

　　2、配方法 配方法在数学中的应用很多，仅在中学阶段就先后三次集中利用它来解决一些理论问题和实际问题。

　　& 利用它来推求一元二次方程的求根公式和解决有关一元二次方程的一些问题：

　　& 用它来推求二次函数图象的顶点公式和解决有关二次函数的极值问题；

　　& 用它来化圆的一般方程为标准方程求出圆心和半径。

　　3、分母有理化与分子有理化 “分母有理化”是在初中学习根式运算时引入的概念。它不仅在根式计算题中有用，在证明题中也时常用到，不过有时不是将分母有理化而是将分子有理化。不但要掌握根式化简一定要把分母有理化的结论，更重要的是掌握有理数化的方法，并在解决问题中灵活地运用它。

　　4.和差化积与积化和差 “和差化积”这样恒等变形之后，有利于应用对数进行计算。（“积化和差”在积分运算中经常用到）

　　其实对于“和”与“积”或“加法”与“乘法”之间的恒等变形的思想，不仅在三角函数上研究过，在其它数学内容里也学习过。

　　乘法公式与因式分解就是在整式范围内的和的形式与积的形式的恒等变形。（微积分中的有理分式化为部分分式的方法，就是在分式范围内研究“和的形式”与“积的形式”如何相互转化。）

　　5.恒等式0 =+A-A= -A+A的应用 “加一个同时以减一个相同的数或式”的恒等变形的技巧，不仅在初等数学中、在简单问题中经常运用，在学习比较复杂的证明中，也是经常被运用的。

　　6.恒等式1=A/A

　　乘一个同时又除一个相同的不为0的数或式，这种恒等变形的技巧也是十分有效的。

　　文章的最后借用著名学者陈省身教授的一句话与诸君共勉：

　　“我们的希望是廿一世纪看到中国成为数学大国。”