如何学好小学数学几何

　　我今天要与大家一起分享的是《小学数学教学研究》一书中的“小学数学几何学习”这一章节，还记得前段时间看了浙教院蒋志萍教授关于“空间与图形”的讲座，那个神秘的自由女神像的魔术至今让我记忆犹新，玄妙的维度世界激起了人们探究的欲望，而这一切的一切都离不开几何的世界。究竟——

　　何谓“几何”?弗赖登塔尔认为，所谓几何就是把握空间，而这个空间对儿童来说，就是他们生活和运动的空间。因此，“几何”又称为“空间几何”，从严格意义上讲，空间几何主要就是研究事物的空间形式或关系的一门学科。我们首先要弄清楚，作为小学数学课程的空间几何，与作为数学科学的空间几何是有区别的：

　　1、作为数学科学的空间几何

　　(1)是一个完整的知识体系

　　(2)是一种论证几何，或称之为证明几何

　　(3)是存在于严密的公理体系之中的

　　2、作为小学数学课程的空间几何

　　(1)是几何学中最基础的部分

　　(2)是一种直观几何，或称之为经验几何、实验几何

　　(3)是存在于不太严密的局部组织之中的

　　明确了小学数学几何与数学课程几何的不同点之后，就要来研究究竟如何更加有效地进行小学数学的几何学习呢?下面分三个部分来具体谈一谈：

　　一、 小学几何学习的基本分析

　　这部分内容又分三个知识点：

　　(一)、小学数学几何学习的基本内容：

　　也就是我们所说的“空间与图形”，具体内容有：简单几何形体的认识、变换(包括平移、旋转和对称等)、位置、图形测量、简单图形的周长、面积与体积的计算、方向的认识以及平面坐标的初步体验等。

　　(二)、小学数学几何学习的基本目标：(分两个方面表述)

　　1、从活动的特征表述

　　(1)能从实物的形状想像出几何图形，或由几何图形想像出实物的形状;

　　(2)能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析出其中的基本元素及其关系;

　　(3)能描述出实物或图形的运动和变化;

　　(4)能采用适当的方式描述物体间的位置关系，或能运用图形形象地描述问题，并利用直观来进行思考。

　　2、从内容的特征表述

　　(1)使学生获得有关线、角、简单平面图形和立体图形的知觉映象(空间表象)

　　(2)使学生能建立有关长度、面积或体积等的基本概念

　　(3)能够对不太远的物体间的方位、距离和大小有较正确的估计

　　(4)能从较复杂的图形中辨别有各种特征的图形

　　(三)、小学数学几何学习的基本特点：(两点)

　　1、经验是儿童几何学习的起点

　　儿童的几何学习与成人(或更高年级学生)不同，他们不是以几何的公理体系为起点的，而是以已有的经验为起点的。儿童在玩各种积木或玩具的过程中，在选择和使用各种生活用具的过程中，在接触到的各种自然现象中，甚至于他们在玩类似“过家家”的游戏中，逐渐感觉到了各种用具在几何方面的特点。

　　2、操作是儿童构建空间表象的主要形式

　　儿童的几何不是论证几何，更多的是属于直观几何，而直观几何就是一种经验几何或实验几何，因此，儿童获得几何知识并形成空间观念，更多的是依靠他们的动手操作。儿童在这个过程中，是通过不断地尝试搭建、选择分类、组合分解等活动来增加自己的体验，积累自己的经验，丰富自己的想像的。

　　二、儿童形成空间观念的基本特征

　　发展儿童的空间观念是小学数学几何学习的基本价值。

　　所谓空间观念，就是指物体的形状、大小、位置、距离、方向等形象在人头脑中的映象，是空间知觉经过加工后所形成的表象。下面就结合实例从“思维发展”和“空间观念形成”两大方面具体谈谈“空间观念”。

　　(一)、儿童几何思维水平的发展：

　　1、水平0阶段(前认知阶段)

　　(1)直线和曲线(线能区分)

　　(2)正方形和平行四边形(面不能区分)

　　2、水平1阶段(直观化阶段)

　　(1)四边形和三角形(能从边的数量上去区分)

　　(2)正方形和菱形(不能从角的特征上去区分)

　　(3)长方形和长方体(不能区分面和体)

　　3、水平2阶段(描述/分析阶段)

　　(1)长方形、四边形、三角形(不同分类方法代表不同水平)

　　(2)长方形是特殊的平行四边形(对图形内在性质和特征不能区分)

　　4、水平3阶段(抽象/关联阶段)

　　(1)平行四边形剪拼成长方形

　　(2)三角形拼成平行四边形

　　(能通过动手操作将新知转化为旧知进行学习)

　　(3)长方形与长方体(能区分面和体)

　　(二)、儿童空间观念形成与发展的基本特征(三点)

　　1、儿童空间想像力的发展

　　所谓的空间想像能力，就是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、归纳和抽象的能力。

　　低年段儿童在学习空间图形时基本上是从认识“二维图形”开始的，但儿童积累的却是大量的“三维”的几何经验，他们在对“二维”图形的空间思考的过程中，往往就会依附相应的直观物体，比如让学生举例说说生活中有哪些物体的形状是长方形的?学生往往会举到诸如课桌之类的，很难抽象出桌面的形状才是长方形。甚至到了较高年级学习“圆的认识”时，还会受到直观物体“球”的干扰。

　　2、儿童形成空间观念的主要心理特点

　　(1)对直观的依赖较大

　　“闭合的区域”往往比“开放的区域”更为直观。如对三角形的性质理解可能会比对角的性质认识更容易;对周长的理解可能会比面积更容易。正如我们听到许多教师上《面积与面积单位》时，总是让学生通过自己的手的触摸来体验“面”的大小，并与周长作出对比，逐步获得对“面积”的理解。

　　(2)用经验来思考和描述性质或概念

　　无法运用精确语言来描述“圆”，对“圆上”、“圆内”或“圆外”等概念还只能建立在“圆圈上”、“圆的里面”和“圆的外面”等上面。

　　(3)空间观念的形成依靠渐进的过程

　　学龄前儿童已经认识三角形，但这只是对形状的初步感知，到了低年段，能用“三条边围起来”这样的直观特征来辨识图形。到稍高年段，才开始逐渐获得“三角形”性质方面的认识。

　　(4)容易感知图形的外显性较强的因素

　　对“角”的本质属性的认识，往往会集中在组成角的两条边的长短上，而忽视两条边的“张开”程度，也是因为边的长短的视觉刺激明显要大于两条边的“张开”程度，甚至我前几天在问学生如果拿一个放大镜看角时，角的大小怎样时，学生居然说角会变大。

　　(5)对图形性质间的关系有一个逐渐理解的过程

　　一年级时，学生只能辨认长方形、正方形、三角形、圆形的形状;二、三年级时，学生不仅能辨认长方形、正方形、梯形、平行四边形等平面图形，还能从这些图形的基本性质上分析，并对圆柱和球也有了初步的认识;到了四、五年级，能深入地分析图形的性质及关系;而到了六年级，学生则能较好地掌握立体图形的特征。可见学生对图形的掌握及空间观念的发展都是一个渐变的过程。

　　(6)对图形的识别倚赖标准形式

　　一位老师在上《三角形的认识》时，为了让学生更好地理解“高”的概念，她先从一个正放的三角形入手，让学生画高;接着她把这个三角形旋转一下，变成倒放的三角形了，问学生这还是不是三角形的高，学生就觉得它不是高了。可见学生对图形的识别还仅仅依赖于标准形式，一旦变成了“变式图形”，学生识别起来就比较困难了。

　　(7)依据平面再造立体图形的空间想像能力是逐步形成的

　　有的教师在学生初次学习“长方体”时，用三根“拉杆天线”，将它们的三个点按“长”、“宽”、“高”这三个维度焊接在一起。然后不断地通过拉动天线的三个方向的长度，让学生在头脑中再造相应的形体大小的形象，以此来发展儿童的空间想像能力。

　　3、儿童形成空间观念的主要知觉障碍

　　1、空间识别障碍

　　空间识别能力表现出的是空间的方位感，它无论是在日常的生活中，还是在空间几何的学习中，都是一个非常重要的能力。比如估计出要去的某个地方的大致方位，就如平时非常重要的方向感;估计出两个物体之间的大致距离等等，都涉及到空间识别能力。而这些能力在我们今后的生活中作用是非常大的。

　　2、视觉知觉障碍

　　比如让学生解决“教室粉刷墙壁和天花板，要粉刷多少面积”或是解决“游泳池铺瓷砖”等，其实都是关于长方体的表面积问题，由于学生看到教室是一个完整的长方体，他们就往往会忽略了有一个面不算在内的问题。

　　三、小学几何教学的主要策略

　　前面我在“几何学习的基本特点”中也已强调两点：经验是儿童几何学习的起点;操作是儿童构建空间表象的主要形式。针对这两大特点，在几何教学中应注意运用以下三点策略：

　　(一)、注重儿童的生活经验

　　(1)利用操作体验来获得对象形状特征的认识

　　比如《三角形的分类》可以给定学生一些不同形状的三角形，让学生按自己的理解去分类，而不同的分类就显示着他们对对象形体特征的表征。

　　(2)利用已经建立的有关图形形体经验帮助概括图形的性质

　　比如学习平行四边形和梯形时，是在学生学习了长方形、正方形之后的，学生自然会按分析长方形、正方形的方法，从边、角的方面去分析它们的特征。

　　(二)、观察对象的形体特征是基础

　　(1)观察形体特征是获得对象性质的基础

　　比如长方体中有一种特殊的是有两个面是正方形的，让学生凭空去想象其余四个面有什么关系是十分困难的，必须通过实物的观察，让学生明白它的宽和高相等，因此其余四个面是大小完全相等的，从而获得性质，得出结论。

　　(2)注意运用变式

　　正如前面提到的认识三角形的高时，应多采用变式，以加深学生对“高”的概念的理解。又如，认识圆的半径、直径时，不必过于强调概念，而是要多一些变式的练习，以反例来加强学生对半径、直径的认识。

　　(三)、强化动手操作

　　(1)搭建活动

　　我在上《立体图形的整理和复习》时，让学生通过“搭一搭”帮助学生思考在立方体每个面都打一个直穿洞口的长方体，使学生较好地理解被挖掉的有7个小立方体。

　　(2)剪拼与折叠活动

　　比如《三角形的内角和》一课，可以让学生通过剪拼、折叠的方法得出三角形的内角和是180度。

　　(3)实物操作活动

　　在学习圆锥的体积公式时，必须让学生通过实物操作，发现等底等高的圆柱和圆锥之间的关系，从而得出圆锥体积计算公式。

　　(4)测量活动

　　《三角形的内角和》一课，学生最初提出的验证三角形内角和是否为180度的方法都是量一量的方法，这个测量活动也是很有必要的，只有引发认知冲突，才会更深入地解决“误差”的问题，更好地引出剪拼、折叠的方法。

　　(5)作图活动

　　四、丰富的想像和有效的交流

　　发展儿童的空间想像能力是小学几何学习的重要任务，而丰富的想像是发展学生空间想像力的有效方式，空间想像力不仅包括对方位、立体图形的想像，还应该包括对平面表示的三维图形的透视能力，以及对图形的再造、组合或分解能力。(这让我想到一种三维图)有效交流也是促进学生几何语言发展的有效手段。

　　我的思考：鉴于以上收获，引发了我的思考。

　　给孩子留一片想像的时空

　　直观演示，该出手时才出手!

　　孔子曰：“不愤不启，不悱不发。”只有在学生先独立思考、展开想像的基础上，在学生空间想像能力无法达到某个高度时，才去演示和启发，才能更好地培养学生的空间观念，这不正是我们小学数学几何教学所应追求的目标吗?但愿我今天的粗浅看法能给大家带来一些思考!