浅谈初一数学教学中数学思想的渗透

 从小学数学过渡到中学数学，无论是学习内容还是学习方法都有了质的发展。在小学里，学生接触的数学对象仅仅是一些具体的数，到了中学，则要发展到研究表示数的字母及其构成的代数式、方程、几何量以及各种关系等等；在方法上，小学只要求完成一些具体数字的计算，在中学则要发展到推理和论证。总之，从认识论上来说，要经历一个从特殊到一般，从具体到抽象的质的转变过程。这个转变过程的成功与否将对整个中学数学教学质量起到举足轻重的作用。完成这一转变的关键时期是在初一。因此，如何从理论上上认识这一转变对初一数学教学的要求，顺利完成这一转变是每位初一数学教学工作者所关心的问题。有意识地进行数学思想的渗透教学是促进这一转变的有效措施之一。

 所谓数学思想，就是数学的基本观点和基本处理方法，它建立在一般具体的数学概念和数学方法的基础上，是数学的抽象概括的产物。初中一年级学生，已有了小学六年数学学习的活动经验和知识积累，已具备掌握一定的数学思想方法的知识基础和能力。我们只要引导得法，安排适当，逐步实施，及时指明，学生完全可以接受基本的数学思想方法。那么在初一数学教学中应注意哪些数学思想方法的渗透呢?我认为有以下几方面。

 一、符号表示的思想

 这是数学中最基本的思想之一。从数学史的角度而言，正因为有了符号表示的思想，才是数学最终走完了从修辞数学到符号数学的历程，成为一门高度抽象、高度概括和高度简捷的科学。完全可以说，数学的抽象是从引进数学符号表示数学对象开始的。因此，把数学事实符号化就成为学习现代数学必须掌握的技能之一。

 在初一阶段，由于教材安排了大量的有关用字母表示数，用代数式表示数量关系等内容，为我们向学生渗透符号表示思想提供了方便。为了让学生顺利地完成这个由具体向抽象转变的第一步，在渗透中应着重注意以下两点：第一，强化对符号表示思想的自然性和优越性的认识，使学生明白，算术能解决的问题是十分有限的，还有大量问题算术不易解决甚至不能解决。为了使问题得以解决且解决得简捷、漂亮，我们自然希望寻求比算术更好的方法，引进数学符号表示数学对象就是实现这种思想的第一步，它能使数学事实的表达更加简单明了，更便于书写和研究，更富有概括意义。例如，用“ ”表示“一个数的绝对值与另一个数的绝对值的和的倒数”就充分体现出上述优点。有了这些强烈的意识之后，符号表示思想就会真正转化为学生自己有用的技能之一。第二，强调准确理解和正确使用数学符号。这可以通过大量的对比练习来进行。例如，对于符号“－”，则要讲清楚它的三层含义：作为运算符号时表示“减”, 作为性质符号时表示“负”，作为第三种含义表示“相反”的意思。如“－a”表示“a的相反数”，这样可以避免把“－a”当作负数。

二、分类讨论的思想

这是我们处理复杂问题时的一般想法，它的渗透对于整个中学阶段的解题教学将起到十分重要的作用。借此，我们可以培养学生全面地观察事物，灵活地处理问题的能力。在初一阶段，由于学生概括能力有限，数学教材在不少问题的处理上都是采用分类讨论的思想来加以叙述的。例如有理数绝对值的讨论，因为有理数可分为正有理数、负有理数和零三类，正有理数绝对值怎样，负有理数绝对值怎样，零的绝对值又怎样，把这三个问题讨论完了，有理数的绝对值也就弄清楚了。我们在渗透中要注意以下两点：首先要指出讨论的必要性，培养讨论的自觉性。要特别向学生指出，当面临的问题不止一个方面时，这时就要讨论。例如比较3a与2a的大小，a是什么性质的数？3a与2a的大小特殊点是什么呢？因为大小的特殊点是相等，从相等为界来分类。其次，分类要做到标准统一，不重不漏。例如在《有理数》一章学完后，这样两题，学生就可以运用讨论的思想将它们解决了。

题1：已知 ＋ = 0，求a、b的值。

题2：说明当一个两位数，十位上的数字是个位数字的 时，这个两位数能被13整除。

对于题1，学生轻松地得出“a = 1,b = －2”，问其理由，答曰：“ 、 都应该是正数或零，当它们都是正数时，相加不等于零；当它们一个是零，一个是正数时，相加也不等于零；只有两个同时为零，相加才等于零，因而a = 1, b = －2。”

    对于题2，一般的说明是：设十位上的数字为a(a为整数)，则个位上的数字为

    但不少同学却给出了如下的说明方法：因为十位上的数字是个位上的数字的 ，所以十位上的数字只能是1、2、3，而个位的数字对应为3、6、9，两位数为13、26、39，它们都能被13整除，故得证。其证法也很漂亮。

三、化归的思想

这是我们处理数学问题的基本策略。它在开拓思路和思维监控方面对数学解题起着十分重要的作用。这种作用对于初一学生来说显得尤为珍贵。在初一数学教材中，有许多地方体现出这种思想。例如，在七年级上《有理数加减乘除》一节中，把减法化归为加法，把除法化归为乘法，把复杂的代数式求值化归为简单的代数式求值，又如在七年级下《二元一次方程组》中把二元一次方程组的求解化归为一元一次方程的求解等等。实际上，“把 (a-b)、  (x-y)各当作一个因式”、 “当作”、“看作”的表述也是化归思想的体现。所有这些内容都为我们向学生渗透化归思想提供了可能性。同时，我们还应特别地看到，每个定理、公式都是数学化归的一个范例：即总是把它成立的理由化归到此前的定理、公式或明显事实成立的基础上，而与此同时则又把一些小范围内成立的例题化归(推广)为在更大范围内成立的命题。既能从具体向抽象化归(前进)，又能从抽象向具体化归(后退)，既能由繁到简化归，又能由简到繁化归。总之，通过这些方面的潜移默化，逐渐地把化归思想渗透到学生的认知结构中去，使他们认识到：在数学解题的过程中，有意识地将问题进行转化，使之变为已经解决或较易解决的问题，这是我们常用的行之有效的手段之一。这方面的渗透要切实考虑到初一学生的接受水平，在方法上注意深入浅出，画龙点睛，同时要注意日积月累，贯穿于整个中学数学教学之中。

四、数形结合的思想

数学研究对象是数与形。华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．初一数学中有许多用到数形结合思想来解决的问题，解题时由数联想到形，又由形联想到数，“数”可以准确澄清“形”的模糊，“形”能在直观中启迪“数”的计算。在学习有理数的加法法则时利用数轴，在理解绝对值的几何意义时利用数轴，学习不等式和不等式组的解集概念时利用数轴，培养学生的数形转换能力。

数形结合思想的另一方面，即用代数方法解决几何问题。在几何中经常遇到计算问题，用数量表示线段的长度，用数量表示角的度数，利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较，利用方程来解决满足互补或互余等特定关系的角的度数等。初一学生刚刚接触几何时，往往与代数联系不上，将这两门课截然分开，这种思维方式是学数学的大忌，必须尽早、尽快扭转，因此在初一几何教学中，凡是能用到代数的地方，都要引导学生找出来，使学生意识到代数与几何的关系是那样密不可分，对形的研究离不开数，在形的问题难以解决时，发挥数的功能，在数的问题遇到困难时，画出与它相关的图形，如解应用题时习惯画示意图。常常会给问题解决带来新思路。从几何起始阶段，就注意数形结合，使学生逐步学会运用数形结合的思想去分析问题、解决问题，养成良好的思维习惯，就能逐步培养学生的数学能力，拓宽思维的领域．

五、对比的思想方法

对比是一切理解和思维的基础。小学的整数与初一的整数概念的对比，小学的四则运算与初一的四则运算的对比，不等式的定义和三条性质与等式的定义和性质对比，不等式的解法步骤和方程的解法步骤对比，(ab)2=a2b2与(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2与(a＋b)(a－b)=a2－b2对比，直线、射线、线段对比，搞清不同知识的联系与区别，各自特点是什么，这些都是新旧知识的对比．在教学中我们要引导学生搞清新旧知识的联系、区别和相应的解决办法，不断推“陈”出“新”，既有助于学生加深对知识的记忆与理解，培养学生敏锐的观察能力与判断能力，又有助于学生把握学习的重点与难点．

六、逆向思维的思想

初一的数学教材中有许多互逆关系的内容．因此在学习知识的过程中，应该逐步帮助学生用逆向思维的方法去理解和巩固所学的知识与方法，并能自觉地将其作为解答问题后的检查方法之一，养成良好的自我检查习惯，培养学生学习的主动性与自信心．学了乘法的分配律a(b+c)=ab+ac，自然也会想到分配律的逆运用ab+ac= a(b+c)．有去括号法则，反过来就有添括号法则，添括号对不对，可用去括号来检验．学了绝对值概念后，知道 =2， =2，就应该知道绝对值等于2的数有几个?两个数的绝对值相等，这两个数是否相等?平行线判定的三个命题，反过来成立不成立，等等．经常这样思考问题，引起学生的认知冲突，就有利于学生加深对知识的理解，发展学生逆向思维能力，培养学生思维的灵活性．

综上所述，如果我们在初一数学教学中就注意结合教学内容，渗透所涉及的数学思想方法，让学生真正从思想方法的高度去理解自己所学的知识，就会使教学收到事半功倍的良好效果，也为广大学生在整个中学阶段的数学学习打下一个好的基础．