中学生对完全平方公式的记忆

【摘 要】完全平方公式在数学中占有重要的地位,中学生总是无法记忆或错误记忆完全平方公式.研究中学生对完全平方公式的记忆特点可以科学地帮助他们准确、牢固地记忆完全平方公式并应用.本文从心理和认知两方面对中学生记忆完全平方公式作了记忆障碍分析,并通过由浅入深的四组题系作了实验验证,结论是不同数学能力水平的学生记忆完全平方公式有不同的特点.数学能力差的学生只能简单机械记忆完全平方公式的表象且保持困难,在教学训练下,他们可以达到对完全平方公式的顺向关系式运算进行简单理解记忆,但对记忆完全平方公式的逆向关系式运算感到十分困难,对完全平方公式所蕴含的数学思想根本无法记忆;数学能力平常的学生在教学训练下可以很好地理解记忆完全平方公式的顺向关系式运算,可以对完全平方公式的逆向关系式运算进行简单理解记忆,对完全平方公式所蕴含的数学思想能达到一定的记忆感知;数学能力强的学生对完全平方公式及其蕴含数学思想能很好地进行理解记忆和概括记忆. 中学生记忆数学公式受他们原有的数学认知结构所影响,其中他们原有的数学思想构成他们记忆数学公式的最大障碍,其次是他们原有数学知识的概括水平,最后是他们原有的基本运算技能.

【关键词】完全平方公式  记忆特点   

  
    在教学中，各初中数学教师都普遍反映出学生总是错误记忆完全平方公式，甚至经过三年的学习还是错误记忆该公式。为什么会出现这种情况呢？选择完全平方公式进行研究是否有价值呢？

    完全平方公式是七年级《数学》（北师大版）下册第一章“整式的乘除”第8节课内容.完全平方公式是中学中重要公式之一,也是掌握整式乘法、因式分解、分式运算、配方法解一元二次方程、一元二次方程求根公式的推导、求二次函数顶点坐标及其对称轴、画二次函数的图象、求二次根式最值等知识的基础.而这些知识是中学生必须掌握的内容,也是学生进一步学习数学的基础,其中配方法这种数学方法对中学生的数学思维结构的优化有很重要的作用.即以完全平方公式作为研究对象有教学意义.另外，克鲁茨基选择完全平方公式为内容的实验体系是为了考察中小学生的概括能力和中小学生的心理过程的可逆能力.由此可知,完全平方公式具有概括性和代表性,且能反映中学生的思维可逆性.即完全平方公式可以反映出中学生的思维本质所在,亦即可以揭示学生思维的心理特点.因此从心理角度来讲,以完全平方公式作为研究对象来研究中学生对数学公式的记忆特点是可行的.此外，中学生对完全平方公式的记忆障碍能充分代表中学生对数学公式的记忆障碍.此处中学生对数学公式的记忆是指准确、迅速、牢固地记忆由数字、字母和符号表达的关系式及其数学思想.在这里考察数学公式所体现的数学思想原因在于“数学是对模式的研究,或者说,数学的概念、命题、问题和方法等都具有模式的性质.”且其中主要指恒等变形类的数学公式（如初中的乘法公式、高中的三角公式等）的记忆,而不是指对计算类的数学公式（如面积公式、体积公式等）的记忆。

    因此，对提出的问题展开了研究，主要从以下两方面进行研究分析：

    一、中学生对于完全平方公式的记忆障碍分析

   （一）中学生对完全平方公式的记忆障碍的心理分析

    影响学生记忆的心理因素包括学生的心理动力结构、学生原有的认知结构以及对材料的加工方式.

    1、学生的心理动力结构

    学生的心理动力结构对记忆有显著影响的有三个方面：学生对记忆任务的意识越强,记忆效果好;学生对学习活动的兴趣与欲望越强,记忆效果越好;学生的自信心与焦虑水平,中度水平的焦虑则是记忆活动中不可缺少的心理状态.这与中学生个性差异很有关系，因此影响到他们对完全平方公式的记忆。

    2、学生的原有认知结构

    包括两方面：学生头脑中已有的知识内容及其组织,即知识结构;学生已习惯了的认知方式,即智力技能结构.

    一方面,学生原有的知识结构对记忆的影响表现在三个方面：（1）原有知识结构中是否具有与当前记忆材料有关的材料.这影响学生在记忆时能否将新材料与原有材料建立联系,能否由新材料产生联想.（2）这些有关材料是否清晰、巩固.原有材料的清晰、巩固有助于新材料与之建立稳定的联系,不至于因原材料的消退而消退,因原材料的模糊而中断了联系或与相似材料建立了错误的联系.（3）原有知识结构是否合理.合理的知识结构是指头脑中所贮存的知识,按一定的系统、一定的顺序排列组织.这使学生在新材料出现时能迅速地从原有知识结构中找到所需要的有关有意义的材料,以便迅速地建立联系,使新材料具有意义.否则,即使是有意义的材料,也可能因找不到有关材料而成为无意义的材料,导致只能进行机械记忆.即中学生对完全平方公式的记忆受他们原来所掌握的整式乘法水平所影响。

    另一方面,学生智力技能结构对记忆的影响.智力技能或认知方式是指认识世界、认识客观事物的方式,包括如何观察、如何思维、如何想像、如何记忆等.学生从小到大,逐渐形成一套自己熟悉的、习惯的方式来认识周围事物.这同样影响着学生对完全平方公式的记忆.这不同的认知技能会影响记忆效果.

    3、学生对材料的加工方式和重复方式

    从短时记忆到长时记忆要经过加工组织和重复.根据材料的特点,按照自己的兴趣与习惯,对材料进行不同方式的加工组织及重复,这是有效记忆的条件.

    对材料的加工组织有三种方式：（1）表层加工,这是知觉水平的加工,注意事物的外部关系,进行机械的重复,以建立事物的联系.这对记忆文字、符号、词语、年代、地名、人名等材料无疑是必要的.（2）深层加工,文这是逻辑思维水平的加工,注意事物的内部关系及事物间的必然联系.这是在记忆有意义联系材料、记忆事物的本质及其规律时不可缺少的加工方式.没有这种加工,即使是有意义联系的材料,也只能当作无意义联系材料进行记忆.深层加工也是联想的基础,它将有利于提取.如有的中学生缺乏这种深层次加工方式，这也就构成了他们对完全平方公式记忆的障碍。（3）系统加工,这是创造性思维水平的加工,对有关材料作三维空间的联系,作时空观念的联系,把学习材料与原有知识结构中的有关材料组成具有一定层次的网络结构.初中生系统加工水平相对较低，这构成了他们对完全平方公式所蕴涵的数学思想的记忆障碍。

    不同的加工组织方式,体现了不同程度的思维参与.思维参与成分愈多,组织结构愈合理,记忆效果愈好.

   （二）学生对完全平方公式的记忆障碍的认知分析.

    知识学习主要是学生对知识信息的内在加工过程.这一过程分为以下几个阶段：即习得阶段、巩固阶段以及提取与应用阶段.根据其阶段及特点,从以下几个方面分析学生学习完全平方公式过程中应解决的主要问题：

    1、知识的同化（assimilation）

    同化就是把新知识纳入原有认知结构并使之分化、扩充,从而形成新的认知结构的过程.知识同化一般需要以下几个条件：（1）学习者原有的认知结构中必须具有同化新知识的相应知识基础.如学生要同化新知识完全平方公式就必须在原有认知结构中具有乘方的概念、多项式乘法法则、有理数的乘方运算（特别是负数的乘方运算）、积的乘方运算和幂的乘方运算等知识.而对于数学能力差的学生对于以上这些基础知识的掌握总是有所缺乏,因此对于他们同化完全平方公式存在着知识的障碍.（2）学习材料必须具有逻辑意义,并能够反映人类的认识成果.完全平方公式实质上是多项式乘法中两个相同二项式相乘的特殊情形,因使用较多且一个数的平方具有非负特性而独立成一个公式.完全平方公式可以通过拼图计算面积得到验证,从而具有几何意义.而数学能力差的学生对于逻辑意义认识上存在一定的缺陷从而造成对于完全平方公式的本质和逻辑上的认识障碍.（3）学习者还应具有理解所学材料的动机.对于已掌握多项式乘法运算的数学能力差的学生更习惯用进行多项式乘法运算,而懒于记忆完全平方公式.而对于这部分知识也缺乏的数学能力差的学生,在他们的认知结构发展过程中,顺应起了主导作用.如果新知识在原有的数学认知结构中没有适当的观念与它相联系,那么就必须对原有的数学认知结构进行改组,以便纳入新知识形成新的数学认知结构,这一过程叫做顺应.他们对于分配律已接受而且掌握得很牢固.他们难以理解为什么呢？他们情愿保留分配律所形成的认知结构而抗拒做出改变来正确记忆完全平方公式.

    2、知识的保持.

    下面从重现的基本规律和记忆的形式上两方面分析其记忆障碍.

    一方面,重现具有以下基本规律：（1）有意重现（即回忆）的效果有赖于重现的目的性,就是平常所说的“心中有数”;如有学生能记忆公式,但不能与“完全平方公式”语词联系起来,再如对于隐藏较深用此公式的,不能分辨出,从而不能回忆出此公式,这些都是回忆的目的不明确造成的.（2）有意重现的效果有赖于重现的自信心,即对自己的记忆要充满信心;当遇到未见过题型时,自信心不够,不能回忆出是用此公式解决问题.（3）有意重现的效果有赖于重现时的心理品质,既有坚强的毅力和持久的耐力,再就是灵活机动,不钻牛角尖或机械地死记硬背;（4）有意重现的效果有赖于方法得当.

    另一方面,从记忆的形式上,学生常采取最低层次的数学记忆,使得记忆的数学知识会很快遗忘,或用时难以提取出来.数学能力平常的部分学生和数学能力差的学生往往采取机械记忆完全平方公式,使得对完全平方公式的保持构成了障碍.

    3、知识的迁移

    迁移就是一种学习对另一种学习的影响.迁移现象是客观存在的,但迁移的发生不是无条件的,也不是自动的,而是有规律的.下面从影响知识迁移的基本因素角度来分析学生对完全平方公式掌握中存在的障碍.（1）对象之间的共同因素.迁移决定于已学知识和将要学习的知识之间的相同因素.相同因素越多,迁移量越大.这就是说,新刺激要求旧反应时最容易也最自然产生迁移.学生已记忆完全平方公式的表面形式,但是找不到形式上有所不同如的计算与其之间的共同因素,因此在解答这些变式题目时就难以正确迁移完全平方公式,从而也就形成了对该公式的进一步理解和深入记忆的障碍.（2）理解和概括水平.只要一个人理解了知识,概括了自己的经验,就能完成从一种学习情景到另一种学习情景的正迁移,即原有的知识的概括水平越高,迁移的可能性越大.已有的知识的概括性之所以影响迁移,主要是由于在迁移过程中学生必须依据已有的知识经验去辨别当前的事物.如果已有的经验概括水平高,反映了事物的本质,把它纳入到已有的经验系统中去,这样迁移就顺利.否则就会给迁移造成困难和错误.有些学生对完全平方公式只是死记硬背,没有理解完全平方公式就是多项式乘法的特殊情形而只记忆公式的表象,接着又没有真正理解公式所蕴涵的模型、符号思想等方面的意义,即对该公式的概括水平较低,因而能够迁移公式的可能性也比较小,对于复杂多变的运用完全平方公式的题目那就更是一筹莫展了.又如对公式只理解到2ab的符号与两数a、b中间的运算符号一致的水平,而不能概括到根据a、b两数是同号还是异号来确定2ab的符号的水平,从而对于如的计算就出现符号上的错误.（3）认知结构.学生由于知识水平有限,往往抓不住事物的本质,以致混淆各类事物,造成负迁移.而且学生在原有学习过程中能否形成一种有组织的、方法得当的思考方式或解决问题的方式方法,这也同样影响公式的迁移.学生在学习完平方差公式之后学习完全平方公式,学生已建立平方差公式的认知结构,其结论只有简单两项,而完全平方公式的结论有三项,且中间项是2ab,而不是平方形式的等等特征.因此学生原有认知结构对完全平方公式的迁移是不利的,从而也就影响完全平方公式的认知结构的建立.（4）学习定势的影响.所谓定势指的是先于一定活动而指向一定活动的一种动力准备状态,而学习定势则指以特殊方式进行学习或作业的倾向.一般来说,运用学习定势解决同类性质的新问题时容易产生正迁移,若解决可变量的新问题,则会产生负迁移.如学生解决如

    此外,对符号总是存在一些专断的人为的成分,学习一个新的符号对于记忆是一种负担.一个学生要是看不到这样做会有什么好处,他就会拒绝承受这种负担.如果一个学生没有足够的机会通过自身的经验来使自己相信,数学符号组成的语言有助于思维,那么他对代数的这种反感是无可非议的.这也构成了中学生对完全平方公式所蕴含的符号思想进行记忆的障碍.

    二、中学生对完全平方公式的记忆特点的实验研究分析

    根据以上理论分析，期望通过实验研究找到中学生记忆完全平方公式的本质所在.其中实验题系遵循义务制教育《数学》（北师大版）课本的教学顺序由浅入深设计,实验完毕记录学生对这些题系解答的准确率以及错误结果,并分析学生出现错误结果的原因所在,从而真正了解学生到底是如何记忆该公式的.共分4组实验题系进行研究分析。
 

    第1组，顺用完全平方公式进行整式乘法题系，本组题分两组进行,1至5题是在学习完该公式1个月左右进行测试,考察了本级6个班的测试结果;6至10题是在学习完该公式1个半学期并刚过完暑假后测试,考察了两个班的测试结果,因两个班的试验结果差不多,故选取记录一个班的试验数据.

    第1次测试人数为300人，全对的人有人，占22%。根据对第1次测试的错误结果数据统计来看,学生的原有知识结构中对记忆完全平方公式构成最大障碍的是学生对负号“－”的理解程度,即学生原有的数学思想——符号思想的水平.其次是学生对分配律的正确理解程度,即学生对原有知识的概括水平.最后是学生对积的乘方运算、幂的乘方运算的掌握程度,即学生对原有基本运算技能的掌握情况.部分学生原有认知结构中认为公式应整齐、系数应统一,用这种惯有方式来认识完全平方公式也构成了学生正确记忆完全平方公式中2ab系数的障碍.

    第2次测试时间为10分钟，记录测试人数为52人。全对的有11人，约占21%。记录出错误情况是以考察运用该公式的步骤为目的，故其他运算步骤错误的不属于记录范围。根据记录情况同样发现以上结论,并从对第10小题的测试结果观察到,学生对数学思想中的符号思想记忆效果较差,即把 看成一个整体作为公式中的符号a来记忆公式的学生较少,而多数学生选择记忆公式的推导得出的结论,也就是说,学生对数学思想中的符号思想的认识也构成了学生对记忆完全平方公式的障碍.

    此外,第2次测试限制了时间,是为了考察学生提取公式的速度.根据测试结果,有不少学生不能完成全部的测试题目,由此可以看出,有些学生不能在需要时快速准确提取完全平方公式进行计算,而有些学生提取公式的速度较慢,体现了学生记忆该公式不够牢固,也反映了遗忘规律.

    第2组，利用完全平方公式进行因式分解题系，本体系共10题,在学生学习完因式分解后测试该体系.其中7、8题是为了混淆学生运用公式的,以检测学生记忆该公式的准确性. 本测试时间为10分钟,测试对象为53名学生.全对的有36人，约占68%。根据出错情况统计分析可知，因本测试是在学完因式分解后立即测试,即学生还未产生遗忘,对公式的表象形式记忆还很好,但是对于数学能力差的学生由于不能正确掌握公式的概括性意义而出现错误.本测试题目数据简单且学生刚学完此内容具有模仿性思维以及分解因式中完全平方公式的思维定势,故出现错误相对来说人数较少.原因在于学生有这样的认识：只要给一个二次三项式都可以用完全平方公式来进行因式分解.而本质上学生并未真正观察检验所给的二次三项式是否满足公式左边的条件.本人曾在测试初将测试第6小题的题目故意改成 ,只有11人发现不能运用完全平方公式进行因式分解,约占总人数的21%.其他学生直接写下了结果.由此试验可以看出学生逆用公式时,因未学习其他分解二次三项式的方法且平时所见题目都是符合公式 左边的条件而出现的,故对于数学能力一般和数学能力差的学生在认知中并未真正形成对公式左边的概括性记忆的结构.又如对于第9小题中含有符号变化,便出现较多的错误,约占13%.还如第10题需要把(x+y)看作一个整体而运用完全平方公式时也出现较多错误,约占15%等都可以说明以上结论.

    第3组，利用完全平方公式使用配方法解一元二次方程题系，本体系测试题目分两部分进行,1至5题为第一部分,6至10题为第二部分.测试时间为在老师简单讲解此内容后第二天,并且在此之前未学习任何解一元二次方程的方法.第1至5小题测试了52名学生, 在教师讲解完1～5小题的错误并简单讲解二次项系数不为1的一元二次方程的解法（大概10分钟）后立即测试第6～10小题.测试人数为52人，第一部分全对的有20人，约占38.6%；第二部分全对的有13人，约占25%。第3组测试题目对学生的概括性记忆和知识迁移效果要求较高,通过测试结果体现了多数学生对完全平方公式的概括性记忆较差,即体现了不同学生选择记忆形式的不同,更多学生选择倾向于选择低层次的记忆形式——机械记忆方式,这构成了学生对完全平方公式的记忆性障碍.另一方面,学生对完全平方公式迁移到配方法解方程都遇到了不同层次的障碍.从出现错误的学生的平时学习情况及测试中出现错误的情况可以看出,这些学生的理解概括水平、原有认知结构、学习定势以及数学能力水平是成为他们深层次记忆完全平方公式的障碍的原因.此外,测试结果中出现了两个公式的混淆使用,即学生不能准确记忆该公式.

    第4组，运用公式综合解答的实验题系，本测试选取了8名数学能力强的中学生（其中4名男生、4名女生）进行测试.要求他们写出思考过程（主要指学生解答题目的尝试过程）.前面5题8名学生都能根据题目中的隐含提示找到相应的完全平方公式从而正确解答题目,即说明数学能力强的学生能准确、迅速、牢固地记忆该公式.但解答第6题时,被选取8名数学能力强的学生都第一时间想到运用公式而将题目条件变形为= 2,但却难想到运用公式将条件变形为 从而也就难以正确解答.由此可见,在测试题目中没有明确提示用公式还是时,学生更倾向于选择运用 解答.

    以上4组题系是对公式的正向运用,对公式的逆向运用,构造公式的运用到对公式的综合运用,随着难度的增加,学生出现错误的情形也越来越多.从4组测试结果以及根据被测试的学生的数学能力水平的了解可以看出,不同数学能力水平的学生对记忆完全平方公式的加工方式和重复方式都有所不同,这也影响了中学生对完全平方公式的记忆效果,构成了他们对记忆完全平方公式的不同程度上的障碍.

    在第1组中，完全正确记忆并正确使用公式进行整式乘法的学生人数约占22%,第2组中真正掌握完全平方式分解的学生人数约占21%,第3组中正确记忆完全平方公式并运用配方法正确解一元二次方程的学生人数约占25%，从这三个数据可以看出,真正掌握对完全平方公式记忆的学生基本上可以确定是相同的.因此，根据以上4组测试结果可以看出,数学能力差的学生只能简单机械记忆公式的表象且保持困难,在教学训练下可以简单顺用公式进行简单的整式乘法运算,对于复杂的整式乘法运算有一定的困难.而对于逆用该公式进行因式分解感到十分困难.数学能力平常的学生在教学训练后能掌握顺用公式进行乘法运算,也可以掌握简单逆用公式进行因式分解,而对于复杂的运用公式进行因式分解需帮助才能完成,即感到有一定的困难.数学能力强的学生顺用、逆用公式解答问题都能很好掌握,甚至对于隐含运用该公式的题目也能解答.

    综上可知，中学生记忆完全平方公式有以下特点：
   
    1、数学能力差的学生只能简单机械记忆数学公式的表象且保持困难,在教学训练下,他们可以达到对数学公式的顺向关系式运算进行简单理解记忆,但对记忆数学公式的逆向关系式运算感到十分困难,对数学公式所蕴含的数学思想根本无法记忆;数学能力平常的学生在教学训练下可以很好地理解记忆数学公式的顺向关系式运算,可以对数学公式的逆向关系式运算进行简单理解记忆,对数学公式所蕴含的数学思想能达到一定的记忆感知;数学能力强的学生能对数学公式及其蕴含数学思想很好地进行理解记忆和概括记忆.即中学生的数学能力水平影响他们准确、迅速、牢固地记忆数学公式及其其蕴涵的数学思想.

    2、中学生记忆数学公式受他们原有的数学认知结构所影响。其中他们原有的数学思想构成他们记忆数学公式的最大障碍,其次是他们原有数学知识的概括水平,最后是他们原有的基本运算技能.

    3、中学生在对于同类相似的数学公式中选择公式解答题目时,若已知条件中无明确提示选择哪一个公式时,他们更倾向于选择学习的第一个公式进行尝试解答,如对于完全平方公式,学生更倾向于选择进行思维尝试.

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