让学生在活动中认识图形

　　现实生活中的物体是丰富多彩的，认识物体的方式也是多种多样的。因此，在图形特征的认识教学中，应当让学生在丰富多彩的活动中从不同角度，用不同方式感知和认识物体，发展空间观念。南京市小营小学的戴守能老师和淮安外国语实验小学的陈红老师设计的《认识三角形》的教学，较好地体现了这一特点。

　　首先，两位老师都从生活情境引入三角形。在课的开始部分，两位老师都呈现了丰富的实物图片，学生从中找三角形，并借用多媒体技术，用彩色线条把学生找到的三角形标出来，此后，再引导学生自主寻找其他实物中的三角形。这样的教学，激活学生的生活经验，感受现实生活中多姿多彩的三角形，为三角形特征认识作了丰实的铺垫。

　　其次，两位老师都组织了做三角形和画三角形的活动。在通过对实物图的观察，唤醒头脑中三角形的表象后，两位老师都顺势提出：你能做一个三角形吗？让学生利用丰富的材料，结合着对三角形的直观认识，在做中思，在做中悟，并通过怎样做的互动交流，引导学生从整体到部分，对构成三角形的元素（边、角、顶点）进行分析、研究，再从部分到整体，归纳概括成三角形的特征，这一过程，是引导学生有目的、有顺序地进行操作、观察、比较的过程，是学生掌握形体特征，建立起正确几何概念的自主建构的过程，较好地体现了探索几何形体特征的一般过程和方法，为学生研究其他几何形体的特征培育了方法结构的“根”。

　　其三，两位老师都设计了围三角形的探索性学习活动。三角形两条边长度的和大于第三边，是本课的教学难点，是三角形内在的特征，教学时采用的一般操作活动是很难让学生自主体验的，因此，两位老师都由指向明确的问题导入：是不是任意长度的三条线段都能围成三角形呢？继而组织学生展开探索性学习活动，把探索结果记录下来后，组织全班学生展开充分的讨论：为什么不能围成三角形，什么情况下能围成三角形。其中，重点解决两边之和等于第三边的情况，并引导学生形成完成的思维：两条边长度之和大于第三边，是指任意两条边之和大于第三边，在此基础上，进行抽象概括，形成正确认识。这一过程，使学生既加深了对三角形内在特征的认识和理解，又通过此过程感受到数学思想方法，提高了数学学习的兴趣和信心。

　　其四，两位老师都安排了探究意味很浓的课堂练习。课堂练习不是简单的强化和巩固，而是进一步完善认知结构，优化思维的过程。为此，两位老师都精心设计了练习，例如，在“下面哪几组中的三条线段可以围成一个三角形”（“想想做做”第2题）的练习中，引导学生从每组中两两相加与另外一条线段比较到两条最短边的和看是不是大于最长边，简约化了判断过程，使学生的思维得到优化；再如，在“从学校到少年宫有几条路线，走哪一条路最近”（“想想做做”第3题）的练习中，指导学生不仅可以应用三角形三边长度关系来思考，还可以用两点之间直线距离最短来解释，使得新旧知识融通，完善学生的认知结构。特别地，两位老师都设计了“如果用两条已知长度的线段作为三角形的两条边，那么三角形的第三条边可能是多长”的开放性练习，发展了学生的思维。

　　以上是从两节课总的教学环节和推进逻辑上进行分析的，得出两节课“同”的方面：即两位老师在引导学生认识三角形特征的教学中，观察、操作、比较、抽象、概括等学习活动丰富多彩，体现了常见几何形体特征的一般教学结构：实物——特征——图形，使得学习过程趣味盎然，而又充满挑战，让学生既获得知识又学会思维。但是，如果从每个环节的细节处理上，两节课还存在较多的“异”，其中最主要是两位老师基于不同班级学情的个性而进行的针对性设计，反映了两位老师鲜明的学生立场。

　　第一，在实物引入三角形的教学环节中，陈老师先是让学生举例，说说生活中哪些地方看到三角形，再出示精选的其他实物图，感知三角形的多样和其中蕴含的三角形的“稳定性”。戴老师在呈现实物图的过程中，相对细致，把具有明显“三角形稳定性”性质的实物图归类呈现，看似不经意，却很精心，孕伏了三角形不易变形的性质在生活中的应用。从两位老师不同的处理，尽管细小，但可以初步感受到两位老师对所教班级学生学情的不同判断。

　　第二，在做三角形的环节中，陈老师遵循教材意图，做中孕画，在学习材料的准备中，提供了包括了三角尺、直尺、方格纸在内的丰富材料，给学生充足的思维空间，允许不同思维层次的学生选择不同的学习路径，即如果对三角形特征感知不充分的话，可以选择先做再画，抽象特征，如果对三角形特征感知比较好的话，可以选择直接画，把抽象的特征表达出来，陈老师为了兼顾学生学习水平的差异，在充分放开的自主学习活动后，在交流展示怎样做三角形的过程中，则精心安排序列，先用小棒摆，再在钉子板上围，进而用三角尺画，最后才是用直尺画，这一过程契合了学生从“实物”到“图形”的抽象过程，有利于全体学生对三角形特征的正确抽象，兼顾了学习基础相对薄弱的学生的学习有效性。戴老师在此环节中，细分了做和画，先是分小组做三角形，提供的材料中不含三角尺和直尺，但增加了纸，学生可以用折纸的方法把其他图形转化为三角形，此后，引导学生比较做出的三角形的异同，得出三角形的“三条边、三个角和三个顶点”的特征，在此基础上，再画三角形，让学生在三角形丰富变式中表达三角形的本质特征。两位教师的不同设计，都是基于班级学生的学习水平和活动经验的，如果学生的自主学习能力较强，具备较充分的图形特征抽象的经验，那么陈老师的教学设计，就可以在比较丰富的学习材料的基础上，自主建构，在“实物—特征—图形”的过程中，抽象图形特征。戴老师的教学设计，细腻清晰，有利于学生用正确的学习方法，完成对图形特征的抽象，也有利于学生形成对常见几何形体特征认识的一般方法结构。

　　第三，在“围”三角形的探索活动中，同样，陈老师的设计显得“豪放”，而戴老师的设计相对“婉约”。首先，在组织形式上，陈老师采用学生个体自主学习的组织形式：“请大家从这四根小棒中任意选三根围三角形，每人选两次，把你选择的小棒和围的结果记录在表格里。”而戴老师采用的是同桌合作的组织形式：“一个同学用小棒围，另一位同学记录，填写表格。”其次，在交流的层次上，陈老师是以“你每次是选择的哪三根小棒？这三根小棒能不能围成三角形？”这一问题统领交流环节，并在交流的过程中进行聚焦，对“10厘米、5厘米和4厘米”及“10厘米、6厘米和4厘米”两种情况进行讨论。戴老师则对交流层次进行了精心的安排：先质疑4厘米、5厘米和10厘米为什么不同围成三角形，再追问：把4厘米换成6厘米呢，这样一层一层“剥笋”式的展开式交流，学生的思维路径相对清晰，相对，老师介入的成分较多。其三是在结论的抽象概括上，陈老师延续了基于学生学习水平较高的思考，提出了“请大家把每次三根小棒中的任意两根的长度与第三根比较，你能发现什么？”的学习要求，并进而用字母式子进行了抽象概括，得出“三角形任意两条边长度之和大于第三边”的结论，应该说，这一过程较好地体现了数学思维的特点，蕴含数学思想方法，不过，对学生原有学习水平的基础是较高的。戴老师对结论概括的过程，学习要求比较具体，戴老师先是“指5厘米、6厘米和10厘米，为什么这三根小棒能围成三角形？”得出“5＋6>10”后，让学生类推到其他边，并用类似的式子表示，此后，再引导学生把同样的思考过程中迁移到“4厘米、5厘米6 厘米”的情况，通过比较两组算式，概括出结论。这一过程，学习的坡度舒缓，易于接受。

　　像这样基于不同班级学生的学情而采用的不同的教学设计在课堂练习中同样如此，这里就不再赘述。

　　最后，如果把几何形体特征的教学作一个整体来设计和思考，我们还可以进一步打开思路，对“认识三角形”的教学进行不同的设计。苏教版教材在直观认识平面图形的基础上，从三年级开始先认识长方形、正方形，再到四年级认识三角形、平行四边形和梯形，最后到五年级认识圆，对这些图形特征的认识都是从图形构成的外部“边”和“角”的基本要素及内部特殊线段“高”等角度来展开研究的，这些基本要素是学生认识和研究几何形图形的框架性知识，它是学生认识研究图形的上位的学习方法结构，因此，从长方形和正方形的特征认识教学开始，不仅让学生通过丰富的学习活动掌握特征，而且要让学生通过回顾反思，形成从“边”和“角”的角度研究图形特征的方法结构，积累起丰富的学习经验，那么，在三角形特征认识的教学中，便可首先回忆长方形、正方形特征的研究方法，继而，让学生运用已有方法进行研究，并自主寻找或创造不同类型的三角形，抽象概括出三角形的特征，此后，再对图形特征的研究方法进行补充完善，使之更为一般化，方便迁移到其他几何形体的特征研究之中。这样，便以几何特征的研究方法作为主要线索贯穿在特征认知之中，让学生在掌握数学知识的同时，学会数学地思考，掌握一些基本的数学研究的方法